Função exponencial

Uma função exponencial é $f(x) = b^x$ para uma base fixa $b > 0$, $b \ne 1$. Tem altura 1 em $x = 0$. Para um inteiro não negativo n, $b^n$ multiplica por b n vezes: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Um passo para a esquerda divide em vez de multiplicar, pelo que $b^{-n} = 1/b^n$ e $b^0 = 1$. As frações seguem a mesma regra: dois meios passos fazem um passo inteiro, logo meio passo multiplica pelo número positivo cujo quadrado é b, $b^{1/2} = \sqrt{b}$. Da mesma forma, $b^{1/q}$ é a raiz q-ésima positiva de b e $b^{p/q} = (b^{1/q})^p$. Um expoente irracional como √2 é alcançado através de expoentes racionais próximos, completando a curva sem lacunas.

Como $b^{x + \Delta x} = b^x \cdot b^{\Delta x}$, um passo de Δx para a direita multiplica a altura por $b^{\Delta x}$, seja qual for o ponto de partida. A escada a partir de P mostra esse fator junto de cada subida; para a esquerda, cada passo divide por ele. Numa função afim, pelo contrário, passos iguais somam a mesma quantidade. Esta regra determina toda a forma. A curva passa por (0, 1) e dividir repetidamente por dois nunca chega a 0, pelo que se mantém acima do eixo x. Para $b > 1$, sobe cada vez mais acentuadamente para a direita e aproxima-se de 0 para a esquerda; para $0 < b < 1$, acontece o inverso.

Como $(1/b)^x = b^{-x}$, o gráfico de $(1/b)^x$ é a reflexão do gráfico de $b^x$ no eixo y: um passo para a direita numa corresponde a um passo para a esquerda na outra. A base 1 é excluída. Cada passo multiplica por 1, o gráfico é a reta y = 1 e diferentes x dão o mesmo valor, pelo que não existe função inversa. Para qualquer outra base, a função inversa é o logaritmo $\log_b x$.

Num passo de comprimento h, a curva sobe à taxa média $\dfrac{b^{x + h} - b^x}{h} = b^x \cdot \dfrac{b^h - 1}{h}$. O segundo fator não depende de x e, quando h tende para 0, aproxima-se de um número que só depende de b: o logaritmo natural $\ln b$. Assim, o declive da tangente é $(b^x)' = \ln b \cdot b^x$: quanto mais alta a curva, mais inclinada fica, sempre na mesma proporção. A base para a qual essa proporção é 1 é $e \approx 2.718$. O gráfico de $e^x$ tem declive igual à altura em todos os pontos, porque $\ln e = 1$.