Üstel fonksiyon

Bir üstel fonksiyon, sabit bir $b > 0$, $b \ne 1$ tabanı için $f(x) = b^x$ biçimindedir. $x = 0$ noktasında yüksekliği 1’dir. Negatif olmayan bir tam sayı n için $b^n$, b ile n kez çarpmaktır: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Sola bir adım çarpmak yerine böler; dolayısıyla $b^{-n} = 1/b^n$ ve $b^0 = 1$ olur. Kesirler de aynı kurala uyar: iki yarım adım bir tam adım ettiğinden yarım adım, karesi b olan pozitif sayıyla çarpar, $b^{1/2} = \sqrt{b}$. Benzer biçimde $b^{1/q}$, b’nin pozitif q. dereceden köküdür ve $b^{p/q} = (b^{1/q})^p$ olur. √2 gibi irrasyonel bir üsse, ona yaklaşan rasyonel üslerle ulaşılır; böylece eğri boşluksuz tamamlanır.

$b^{x + \Delta x} = b^x \cdot b^{\Delta x}$ olduğundan, sağa Δx uzunluğunda bir adım, nereden başlarsa başlasın yüksekliği $b^{\Delta x}$ ile çarpar. P’den başlayan basamaklar bu çarpanı her yükselişin yanında gösterir; sola gidildiğinde her adım bu çarpana böler. Doğrusal bir fonksiyonda ise eşit adımlar aynı miktarı ekler. Bu tek kural eğrinin bütün şeklini belirler. Eğri (0, 1)’den geçer ve tekrar tekrar yarıya indirmek hiçbir zaman 0’a ulaştırmadığından x ekseninin üstünde kalır. $b > 1$ için sağa doğru giderek dikleşir ve sola doğru 0’a yaklaşır; $0 < b < 1$ için durum tersidir.

$(1/b)^x = b^{-x}$ olduğundan, $(1/b)^x$ grafiği $b^x$ grafiğinin y eksenine göre yansımasıdır: birinde sağa adım, diğerinde sola adıma karşılık gelir. 1 tabanı dışarıda bırakılır. Her adım 1 ile çarpar, grafik y = 1 doğrusudur ve farklı x değerleri aynı sonucu verir; dolayısıyla ters fonksiyon yoktur. Diğer bütün tabanlar için ters fonksiyon $\log_b x$ logaritmasıdır.

h uzunluğunda bir adımda eğri $\dfrac{b^{x + h} - b^x}{h} = b^x \cdot \dfrac{b^h - 1}{h}$ ortalama değişim hızıyla yükselir. İkinci çarpan x’e bağlı değildir ve h, 0’a yaklaşırken yalnızca b’ye bağlı bir sayıya, doğal logaritma $\ln b$ değerine yaklaşır. Bu nedenle teğetin eğimi $(b^x)' = \ln b \cdot b^x$ olur: eğri yükseldikçe her zaman aynı oranda dikleşir. Bu oranın 1 olduğu taban $e \approx 2.718$’dir. $e^x$ grafiğinin eğimi her yerde yüksekliğine eşittir; çünkü $\ln e = 1$.