指数関数

指数関数は、一定の底$b > 0$、$b \ne 1$に対する$f(x) = b^x$です。$x = 0$では高さが1になります。0以上の整数nについて、$b^n$はbをn回掛けることを意味し、$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$です。左へ1ステップ進むと掛ける代わりに割るので、$b^{-n} = 1/b^n$、$b^0 = 1$となります。分数も同じ規則です。半ステップ2回が1ステップなので、半ステップでは2乗するとbになる正の数$b^{1/2} = \sqrt{b}$を掛けます。同様に、$b^{1/q}$はbの正のq乗根で、$b^{p/q} = (b^{1/q})^p$です。√2のような無理数の指数は、近くの有理数の指数を通じて定まり、曲線の隙間が埋まります。

$b^{x + \Delta x} = b^x \cdot b^{\Delta x}$なので、右へΔx進むと、出発点によらず高さに$b^{\Delta x}$が掛かります。Pからの階段は、各段の立ち上がりにその倍率を表示します。左へ進むと、その数で割ります。一方、一次関数では等しい幅のステップごとに同じ量を足します。この1つの規則がグラフ全体の形を決めます。曲線は(0, 1)を通り、半分にし続けても0にはならないため、x軸より上にあります。$b > 1$では右へ進むほど急に上がり、左では0に近づきます。$0 < b < 1$では逆になります。

$(1/b)^x = b^{-x}$なので、$(1/b)^x$のグラフは$b^x$のグラフをy軸に関して反転したものです。一方で右へ1ステップ進むことは、もう一方で左へ進むことに当たります。底1は除きます。各ステップで1を掛けるためグラフは直線y = 1となり、異なるxで同じ値を取るので逆関数がありません。それ以外の底では、逆関数は対数$\log_b x$です。

幅hのステップでの高さの平均変化率は$\dfrac{b^{x + h} - b^x}{h} = b^x \cdot \dfrac{b^h - 1}{h}$です。第2の因子はxによらず、hが0に近づくとbだけで決まる数、自然対数$\ln b$に近づきます。したがって接線の傾きは$(b^x)' = \ln b \cdot b^x$です。曲線が高いほど、いつも同じ比率で急になります。その比率が1となる底が$e \approx 2.718$です。$\ln e = 1$なので、$e^x$のグラフではどこでも傾きと高さが一致します。