Fonction exponentielle

Une fonction exponentielle est $f(x) = b^x$, pour une base fixe $b > 0$, $b \ne 1$. Sa hauteur vaut 1 en $x = 0$. Pour un entier naturel n, $b^n$ multiplie par b n fois : $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Un pas vers la gauche divise au lieu de multiplier, donc $b^{-n} = 1/b^n$ et $b^0 = 1$. Les fractions suivent la même règle : deux demi-pas font un pas entier, donc un demi-pas multiplie par le nombre positif dont le carré vaut b, $b^{1/2} = \sqrt{b}$. De même, $b^{1/q}$ est la racine q-ième positive de b et $b^{p/q} = (b^{1/q})^p$. On atteint un exposant irrationnel comme √2 par les exposants rationnels qui s’en approchent, ce qui complète la courbe sans laisser de trous.

Puisque $b^{x + \Delta x} = b^x \cdot b^{\Delta x}$, un pas de Δx vers la droite multiplie la hauteur par $b^{\Delta x}$, quel que soit son point de départ. L’escalier partant de P indique ce facteur à côté de chaque montée ; vers la gauche, chaque pas divise par ce facteur. Pour une fonction affine, des pas égaux ajoutent au contraire une même quantité. Cette seule règle détermine toute la forme de la courbe. Elle passe par (0, 1), et des divisions par deux répétées n’atteignent jamais 0 : elle reste donc au-dessus de l’axe des abscisses. Pour $b > 1$, elle monte de plus en plus vite vers la droite et se rapproche de 0 vers la gauche ; pour $0 < b < 1$, c’est l’inverse.

Puisque $(1/b)^x = b^{-x}$, la courbe de $(1/b)^x$ est la symétrique de celle de $b^x$ par rapport à l’axe des ordonnées : un pas vers la droite sur l’une correspond à un pas vers la gauche sur l’autre. La base 1 est exclue. Chaque pas multiplie par 1, la courbe est la droite y = 1 et des x différents donnent la même valeur : il n’y a donc pas de fonction réciproque. Pour toute autre base, la fonction réciproque est le logarithme $\log_b x$.

Sur un pas de longueur h, la courbe monte à un taux moyen $\dfrac{b^{x + h} - b^x}{h} = b^x \cdot \dfrac{b^h - 1}{h}$. Le second facteur ne dépend pas de x et, lorsque h tend vers 0, il se rapproche d’un nombre qui ne dépend que de b : le logarithme népérien $\ln b$. La pente de la tangente vaut donc $(b^x)' = \ln b \cdot b^x$ : plus la courbe est haute, plus elle est raide, toujours dans la même proportion. La base pour laquelle cette proportion vaut 1 est $e \approx 2.718$. La courbe de $e^x$ a partout une pente égale à sa hauteur, car $\ln e = 1$.