指數函數

指數函數是固定底數$b > 0$、$b \ne 1$下的$f(x) = b^x$，在$x = 0$處高度為1。對非負整數n，$b^n$就是把b乘n次：$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$。向左走一步則改為相除，所以$b^{-n} = 1/b^n$、$b^0 = 1$。分數也遵守同一規則：兩個半步合成一整步，因此半步要乘以那個平方等於b的正數，也就是$b^{1/2} = \sqrt{b}$。同樣地，$b^{1/q}$是b的正q次方根，而$b^{p/q} = (b^{1/q})^p$。像√2這樣的無理數指數，可以透過愈來愈接近它的有理數指數來定義，將曲線連續地補齊。

因為$b^{x + \Delta x} = b^x \cdot b^{\Delta x}$，向右走Δx就讓高度乘以$b^{\Delta x}$，與從哪裡出發無關。從P伸出的階梯會在每次上升旁標出這個倍率；向左走則每步都除以它。一次函數恰好相反：等長的步讓高度加上相同的量。這一條規則就決定了整條曲線的形狀。曲線通過(0, 1)，不斷減半也不會到0，所以它始終在x軸上方。$b > 1$時，向右愈升愈陡，向左逐漸靠近0；$0 < b < 1$時則反過來。

因為$(1/b)^x = b^{-x}$，$(1/b)^x$的圖像就是$b^x$對y軸的鏡射：一個向右走一步，相當於另一個向左走一步。底數1被排除在外：每一步都乘以1，圖像就是直線y = 1，不同的x得到相同的值，因此沒有反函數。其他底數的反函數都是對數$\log_b x$。

走一段長度h時，曲線高度的平均變化率是$\dfrac{b^{x + h} - b^x}{h} = b^x \cdot \dfrac{b^h - 1}{h}$。第二個因子不依賴x；當h趨近0時，它趨近一個只由b決定的數，也就是自然對數$\ln b$。因此切線斜率為$(b^x)' = \ln b \cdot b^x$：曲線愈高，就按相同的比例變得愈陡。讓這個比例等於1的底數是$e \approx 2.718$。因為$\ln e = 1$，$e^x$的圖像處處都有斜率等於高度。