지수함수

지수함수는 고정된 밑 $b > 0$, $b \ne 1$에 대해 $f(x) = b^x$로 정의합니다. $x = 0$에서 높이는 1입니다. 음이 아닌 정수 n에 대해 $b^n$은 b를 n번 곱한다는 뜻입니다. 즉 $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$입니다. 왼쪽으로 한 칸 가면 곱하는 대신 나누므로 $b^{-n} = 1/b^n$이고 $b^0 = 1$입니다. 분수도 같은 규칙을 따릅니다. 반 칸씩 두 번이 한 칸이므로, 반 칸은 제곱이 b인 양수 $b^{1/2} = \sqrt{b}$을 곱합니다. 마찬가지로 $b^{1/q}$은 b의 양의 q제곱근이며 $b^{p/q} = (b^{1/q})^p$입니다. √2 같은 무리수 지수는 가까운 유리수 지수들로 접근하여 정의하므로, 곡선이 빈틈없이 이어집니다.

$b^{x + \Delta x} = b^x \cdot b^{\Delta x}$이므로 오른쪽으로 Δx만큼 이동하면 출발점과 관계없이 높이에 $b^{\Delta x}$을 곱합니다. P에서 시작하는 계단은 올라가는 구간마다 이 배수를 표시하고, 왼쪽으로 가면 그 배수로 나눕니다. 반면 일차함수에서는 같은 간격마다 같은 양을 더합니다. 이 규칙 하나가 전체 모양을 결정합니다. 곡선은 (0, 1)을 지나고, 계속 절반으로 줄여도 0이 되지 않으므로 x축 위에 머뭅니다. $b > 1$이면 오른쪽으로 갈수록 더 가파르게 상승하고 왼쪽으로는 0에 가까워집니다. $0 < b < 1$이면 반대입니다.

$(1/b)^x = b^{-x}$이므로 $(1/b)^x$의 그래프는 $b^x$의 그래프를 y축에 대칭시킨 것입니다. 한쪽에서 오른쪽으로 한 칸 가는 것은 다른 쪽에서 왼쪽으로 한 칸 가는 것과 같습니다. 밑 1은 제외합니다. 한 칸마다 1을 곱하면 그래프는 직선 y = 1이고, 서로 다른 x에서 같은 값이 나오므로 역함수가 없습니다. 그 밖의 모든 밑에서는 역함수가 로그 $\log_b x$입니다.

길이 h만큼 이동할 때 곡선 높이의 평균변화율은 $\dfrac{b^{x + h} - b^x}{h} = b^x \cdot \dfrac{b^h - 1}{h}$입니다. 두 번째 인수는 x와 관계없고, h가 0으로 가까워질수록 b에만 의존하는 수인 자연로그 $\ln b$에 가까워집니다. 따라서 접선의 기울기는 $(b^x)' = \ln b \cdot b^x$입니다. 높이가 높을수록 곡선은 항상 같은 비율로 더 가팔라집니다. 그 비율이 1이 되는 밑은 $e \approx 2.718$입니다. $\ln e = 1$이므로 $e^x$의 그래프는 모든 점에서 기울기와 높이가 같습니다.