الدالة الأسية

الدالة الأسية هي $f(x) = b^x$ لأساس ثابت $b > 0$، $b \ne 1$. تبدأ بارتفاع 1 عند $x = 0$. إذا كان n عددًا صحيحًا، فإن $b^n$ يضرب في b عدد n من المرات: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. أما الخطوة إلى اليسار فتقسم بدلًا من الضرب، ولذلك $b^{-n} = 1/b^n$ و$b^0 = 1$. وتتبع الكسور القاعدة نفسها: نصفا خطوة يصنعان خطوة كاملة، لذا يضرب نصف الخطوة في العدد الموجب الذي مربعه b، أي $b^{1/2} = \sqrt{b}$. وبالطريقة نفسها، $b^{1/q}$ هو الجذر الموجب من الرتبة q للعدد b، و$b^{p/q} = (b^{1/q})^p$. أما الأس غير النسبي، مثل ⁦√2⁩، فنصل إليه عبر الأسس النسبية القريبة منه، ليكتمل المنحنى بلا فجوات.

بما أن $b^{x + \Delta x} = b^x \cdot b^{\Delta x}$، فإن خطوة بطول ⁦Δx⁩ إلى اليمين تضرب الارتفاع في $b^{\Delta x}$، أينما بدأت. تعرض الدرجات المنطلقة من P هذا المعامل بجانب كل ارتفاع؛ وعند التحرك إلى اليسار، تقسم كل خطوة عليه. في الدالة الخطية، تضيف الخطوات المتساوية مقدارًا ثابتًا بدلًا من ذلك. هذه القاعدة وحدها تحدد الشكل كله. يمر المنحنى بالنقطة ⁦(0, 1)⁩، ولا يصل التنصيف المتكرر إلى 0، لذلك يبقى فوق محور x. عندما $b > 1$ يزداد انحداره صعودًا إلى اليمين ويقترب من 0 إلى اليسار؛ وعندما $0 < b < 1$ يحدث العكس.

بما أن $(1/b)^x = b^{-x}$، فإن منحنى $(1/b)^x$ هو انعكاس منحنى $b^x$ حول محور y: خطوة إلى اليمين في أحدهما تقابل خطوة إلى اليسار في الآخر. يُستثنى الأساس 1؛ فكل خطوة تضرب في 1، ويكون الرسم هو المستقيم ⁦y = 1⁩، وتعطي قيم x المختلفة القيمة نفسها، لذلك لا توجد دالة عكسية. ولكل أساس آخر، الدالة العكسية هي اللوغاريتم $\log_b x$.

خلال خطوة بطول h، يكون متوسط معدل تغير ارتفاع المنحنى $\dfrac{b^{x + h} - b^x}{h} = b^x \cdot \dfrac{b^h - 1}{h}$. لا يعتمد العامل الثاني على x، وعندما يقترب h من 0 يقترب هذا العامل من عدد يعتمد على b وحده، وهو اللوغاريتم الطبيعي $\ln b$. لذا فإن ميل المماس هو $(b^x)' = \ln b \cdot b^x$: كلما زاد ارتفاع المنحنى، زادت شدة انحداره، وبالنسبة نفسها دائمًا. والأساس الذي تكون عنده هذه النسبة 1 هو $e \approx 2.718$. لمنحنى $e^x$ ميل يساوي ارتفاعه في كل موضع، لأن $\ln e = 1$.