Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion ist $f(x) = b^x$ für eine feste Basis $b > 0$, $b \ne 1$. Bei $x = 0$ hat sie die Höhe 1. Für eine nichtnegative ganze Zahl n bedeutet $b^n$, n-mal mit b zu multiplizieren: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Ein Schritt nach links dividiert stattdessen, also gilt $b^{-n} = 1/b^n$ und $b^0 = 1$. Brüche folgen derselben Regel: Zwei halbe Schritte ergeben einen ganzen, daher multipliziert ein halber Schritt mit der positiven Zahl, deren Quadrat b ist, $b^{1/2} = \sqrt{b}$. Entsprechend ist $b^{1/q}$ die positive q-te Wurzel aus b, und es gilt $b^{p/q} = (b^{1/q})^p$. Ein irrationaler Exponent wie √2 wird durch rationale Exponenten angenähert; so wird die Kurve lückenlos ergänzt.

Weil $b^{x + \Delta x} = b^x \cdot b^{\Delta x}$, multipliziert ein Schritt der Länge Δx nach rechts die Höhe mit $b^{\Delta x}$, unabhängig vom Ausgangspunkt. Die Treppe ab P zeigt diesen Faktor neben jedem Anstieg; nach links dividiert jeder Schritt durch ihn. Bei einer linearen Funktion addieren gleich große Schritte dagegen denselben Betrag. Diese eine Regel bestimmt die gesamte Form. Die Kurve geht durch (0, 1), und wiederholtes Halbieren erreicht nie 0, daher bleibt sie oberhalb der x-Achse. Für $b > 1$ steigt sie nach rechts immer steiler an und nähert sich nach links der 0; für $0 < b < 1$ ist es umgekehrt.

Wegen $(1/b)^x = b^{-x}$ ist der Graph von $(1/b)^x$ die Spiegelung des Graphen von $b^x$ an der y-Achse: Ein Schritt nach rechts bei der einen Basis entspricht einem Schritt nach links bei der anderen. Die Basis 1 wird ausgeschlossen. Jeder Schritt multipliziert mit 1, der Graph ist die Gerade y = 1, und verschiedene x liefern denselben Wert. Deshalb gibt es keine Umkehrfunktion. Für jede andere Basis ist die Umkehrfunktion der Logarithmus $\log_b x$.

Über einen Schritt der Länge h steigt die Kurve mit der mittleren Änderungsrate $\dfrac{b^{x + h} - b^x}{h} = b^x \cdot \dfrac{b^h - 1}{h}$. Der zweite Faktor hängt nicht von x ab und nähert sich für h gegen 0 einer Zahl, die nur von b abhängt: dem natürlichen Logarithmus $\ln b$. Die Tangentensteigung ist also $(b^x)' = \ln b \cdot b^x$: Je höher die Kurve, desto steiler ist sie, stets im gleichen Verhältnis. Die Basis, bei der dieses Verhältnis 1 ist, heißt $e \approx 2.718$. Der Graph von $e^x$ hat überall eine Steigung gleich seiner Höhe, denn $\ln e = 1$.