定积分

对可积的函数$f$和积分限$a < b$，定积分$\int_a^b f(x)\,dx$是图像与x轴之间、x轴上方的面积减去x轴下方的面积。画面把a到b的区域一块一块画出来：算正的画实心，算负的画斜线，读数把积分写成“实心 − 斜线”。旁边是积分限之间的面积$\int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} |f(x)|\,dx$，每一块都算正；只有曲线一直在x轴上方时两者才相等。定积分定义为黎曼和的极限；本页的函数都是多项式，用原函数精确算出。

黎曼和的每一项是高乘宽$f(x_i)\,\Delta x$。在x轴下方高是负的，这一条就从总数里减去。宽也有符号：从a到b，$\Delta x = (b - a)/n$，b在a左边时每一块都变号。所以$\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$，x轴下方的区域从右往左积时算正，而且$\int_a^a f(x)\,dx = 0$。

对任意三个点，$\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$。c在a、b之间时，这只是把区域切成两块。c在外面也成立：区间外多出的那一截先积到c、再积回来，正负各一次，互相抵消。画面只画出这一截的轮廓、不涂色，所以涂色始终表示积分限之间的面积。

给f加上常数$m$，就多出一条高m、宽$b - a$的带子：$\int_a^b (f(x) + m)\,dx$ $= \int_a^b f(x)\,dx + m(b - a)$。带子顺着曲线弯，有向面积却和矩形一样；虚线是f原来的位置。

积分除以宽度就是平均高度$\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$（$a \ne b$）。区间上高为$\bar{f}$的矩形，有向面积和曲线下的相同。它一般不等于两端高度的平均。f连续时，曲线在a、b之间某处正好取到$\bar{f}$，这就是积分中值定理。