Определённый интеграл

Для интегрируемой функции $f$ и пределов $a < b$ определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ равен площади между графиком и осью x выше оси минус площадь ниже неё. Здесь область от a до b изображена по частям: сплошная заливка там, где вклад положителен, и штриховка там, где он отрицателен. Индикатор записывает интеграл как заливка минус штриховка. Рядом показана площадь между пределами, $\int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} |f(x)|\,dx$, которая учитывает каждую часть положительно. Они совпадают, только когда кривая остаётся выше оси. Интеграл определяется как предел сумм Римана; для многочленов на этой странице он вычисляется точно через первообразную.

Каждое слагаемое суммы Римана — высота, умноженная на ширину, $f(x_i)\,\Delta x$. Ниже оси высота отрицательна, поэтому такая полоска уменьшает итог. Ширина тоже имеет знак: при движении от a к b, $\Delta x = (b - a)/n$, так что при b левее a каждая часть меняет знак. Именно поэтому $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$, область ниже оси при движении справа налево даёт положительный вклад и выполняется $\int_a^a f(x)\,dx = 0$.

Для любых трёх точек верно $\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$. Если c лежит между a и b, область разбивается на две части. Равенство сохраняется и при c снаружи: участок за пределами интервала проходится до c и обратно, один раз с каждым знаком, и вклады взаимно уничтожаются. Этот участок только обведён, а не закрашен, поэтому закраска всегда означает площадь между пределами.

Прибавление к f постоянной $m$ добавляет полосу высотой m и шириной $b - a$: $\int_a^b (f(x) + m)\,dx$ $= \int_a^b f(x)\,dx + m(b - a)$. Полоса следует за кривой, но её площадь с учётом знака равна площади прямоугольника. Пунктирная кривая показывает прежнее положение f.

Деление интеграла на ширину даёт среднюю высоту, $\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$ при $a \ne b$. Прямоугольник высотой $\bar{f}$ над интервалом имеет ту же площадь с учётом знака, что и кривая. В общем случае это не среднее высот на двух концах. Если f непрерывна, где-то между a и b кривая принимает значение $\bar{f}$; это теорема о среднем для интегралов.