Belirli integral

İntegrallenebilir bir $f$ fonksiyonu ve $a < b$ sınırları için belirli integral $\int_a^b f(x)\,dx$, grafik ile x ekseni arasındaki alanın eksenin üstünde kalan kısmından altında kalan kısmının çıkarılmasıdır. Burada a ile b arasındaki bölge parça parça çizilir: pozitif sayılan yerler dolu, negatif sayılan yerler taralıdır; gösterge integrali dolu eksi taralı olarak yazar. Yanında, her parçayı pozitif sayan sınırlar arasındaki alan $\int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} |f(x)|\,dx$ bulunur. İkisi ancak eğri eksenin üstünde kaldığında eşittir. İntegral, Riemann toplamlarının limiti olarak tanımlanır; bu sayfadaki polinomlar için bir ilkel fonksiyon yardımıyla tam olarak hesaplanır.

Riemann toplamındaki her terim bir yükseklik ile genişliğin çarpımıdır, $f(x_i)\,\Delta x$. Eksenin altında yükseklik negatiftir; bu nedenle o şerit toplamdan çıkar. Genişliğin de işareti vardır: a’dan b’ye giderken $\Delta x = (b - a)/n$ olur; b, a’nın solundaysa her parça işaret değiştirir. $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ eşitliğinin, eksenin altındaki bölgenin sağdan sola geçildiğinde pozitif sayılmasının ve $\int_a^a f(x)\,dx = 0$ olmasının nedeni budur.

Herhangi üç nokta için $\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$ geçerlidir. c, a ile b arasındaysa bölge iki parçaya ayrılır. c dışarıda olduğunda da eşitlik sürer: aralığın dışındaki bölüm c’ye kadar gidilip geri dönülerek bir kez her iki işaretle sayılır ve iki katkı birbirini götürür. Sayfa bu bölümü boyamak yerine yalnızca çevresini çizer; böylece boyalı bölge her zaman sınırlar arasındaki alanı gösterir.

f’ye bir $m$ sabiti eklemek, yüksekliği m ve genişliği $b - a$ olan bir şerit ekler: $\int_a^b (f(x) + m)\,dx$ $= \int_a^b f(x)\,dx + m(b - a)$. Şerit eğriyi izler, fakat işaretli alanı bir dikdörtgeninkiyle aynıdır; kesikli eğri f’nin önceki yerini gösterir.

İntegrali genişliğe bölmek ortalama yüksekliği verir: $a \ne b$ için $\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$. Aralık üzerinde yüksekliği $\bar{f}$ olan dikdörtgen, eğriyle aynı işaretli alana sahiptir. Bu değer genellikle iki uç yüksekliğinin ortalaması değildir. f sürekliyse eğri a ile b arasında bir yerde $\bar{f}$ değerini alır; bu, integraller için ortalama değer teoremidir.