Integral definido

Para uma função integrável $f$ e limites $a < b$, o integral definido $\int_a^b f(x)\,dx$ é a área entre o gráfico e o eixo x situada acima do eixo, menos a área situada abaixo. Aqui, a região de a até b é desenhada por partes: preenchida onde conta positivamente e tracejada onde conta negativamente. O indicador escreve o integral como preenchido menos tracejado. Ao lado está a área entre os limites, $\int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} |f(x)|\,dx$, que conta todas as partes positivamente; só coincidem quando a curva se mantém acima do eixo. O integral é definido como um limite de somas de Riemann; para os polinómios desta página, é calculado exatamente através de uma primitiva.

Cada termo de uma soma de Riemann é uma altura multiplicada por uma largura, $f(x_i)\,\Delta x$. Abaixo do eixo, a altura é negativa, pelo que essa faixa é subtraída ao total. A largura também tem sinal: ao ir de a até b, $\Delta x = (b - a)/n$. Quando b está à esquerda de a, cada parte muda de sinal. É por isso que $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$, que uma região abaixo do eixo conta positivamente ao ser percorrida da direita para a esquerda, e que $\int_a^a f(x)\,dx = 0$.

Para quaisquer três pontos, $\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$. Com c entre a e b, isto corta a região em duas. Também se verifica quando c está fora: o troço além do intervalo é percorrido até c e de volta, uma vez com cada sinal, e as contribuições anulam-se. A página desenha apenas o contorno desse troço, para que a região colorida represente sempre a área entre os limites.

Somar uma constante $m$ a f acrescenta uma faixa de altura m e largura $b - a$: $\int_a^b (f(x) + m)\,dx$ $= \int_a^b f(x)\,dx + m(b - a)$. A faixa acompanha a curva, mas a sua área com sinal é a de um retângulo; a curva a tracejado mostra onde estava f.

Dividir o integral pela largura dá a altura média, $\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$ para $a \ne b$. O retângulo de altura $\bar{f}$ sobre o intervalo tem a mesma área com sinal que a curva. Em geral, não é a média das alturas nas duas extremidades. Se f for contínua, a curva toma o valor $\bar{f}$ algures entre a e b; este é o teorema do valor médio para integrais.