定積分

積分可能な関数$f$と端点$a < b$について、定積分$\int_a^b f(x)\,dx$は、グラフとx軸の間で軸より上にある面積から下にある面積を引いたものです。ここではaからbの領域を部分ごとに描き、プラスに数える場所を塗りつぶし、マイナスに数える場所を斜線にしています。表示欄には塗りつぶしから斜線を引いた積分を示します。隣の両端の間の面積$\int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} |f(x)|\,dx$は、すべての部分をプラスに数えます。両者が一致するのは、曲線が軸より上にある場合だけです。積分はリーマン和の極限として定義されます。このページの多項式では、原始関数から厳密に計算しています。

リーマン和の各項は、高さと幅の積$f(x_i)\,\Delta x$です。軸より下では高さが負なので、その細片は合計から引かれます。幅にも符号があります。aからbへ進むとき$\Delta x = (b - a)/n$なので、bがaの左にあれば各部分の符号が変わります。だから$\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$となり、軸より下の領域でも右から左へ進めばプラスに数え、$\int_a^a f(x)\,dx = 0$となります。

任意の3点について$\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$が成り立ちます。cがaとbの間なら、領域を2つに切り分けます。cが外にあっても、区間の外側をcまで進んで戻ることで、同じ部分を逆の符号で1回ずつ数えて打ち消し合います。その部分は塗らずに輪郭だけを描くので、色の付いた領域はいつも両端の間の面積を表します。

fに定数$m$を加えると、高さm、幅$b - a$の帯が加わります。つまり$\int_a^b (f(x) + m)\,dx$$= \int_a^b f(x)\,dx + m(b - a)$です。帯は曲線に沿って曲がっていますが、符号付き面積は長方形と同じです。破線の曲線は元のfの位置を示します。

積分を幅で割ると平均の高さになり、$a \ne b$に対して$\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$です。区間上の高さ$\bar{f}$の長方形は、曲線と同じ符号付き面積を持ちます。一般には、両端の高さの平均ではありません。fが連続なら、aとbの間のどこかで曲線は値$\bar{f}$を取ります。これが積分の平均値の定理です。