Intégrale définie

Pour une fonction intégrable $f$ et des bornes $a < b$, l’intégrale définie $\int_a^b f(x)\,dx$ est l’aire entre la courbe et l’axe des abscisses située au-dessus de cet axe, moins celle située au-dessous. Ici, la région de a à b est dessinée morceau par morceau : en plein lorsqu’elle compte positivement, en hachuré lorsqu’elle compte négativement. L’affichage écrit l’intégrale comme plein moins hachuré. À côté figure l’aire entre les bornes, $\int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} |f(x)|\,dx$, qui compte chaque morceau positivement ; les deux coïncident seulement si la courbe reste au-dessus de l’axe. L’intégrale est définie comme une limite de sommes de Riemann ; pour les polynômes de cette page, elle est calculée exactement à partir d’une primitive.

Chaque terme d’une somme de Riemann est une hauteur multipliée par une largeur, $f(x_i)\,\Delta x$. Sous l’axe, la hauteur est négative : cette bande se retranche donc du total. La largeur a elle aussi un signe : en allant de a vers b, $\Delta x = (b - a)/n$. Ainsi, lorsque b est à gauche de a, chaque morceau change de signe. Cela explique $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$, pourquoi une région sous l’axe compte positivement lorsqu’on la parcourt de droite à gauche, et pourquoi $\int_a^a f(x)\,dx = 0$.

Pour trois points quelconques, $\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$. Si c est entre a et b, cela coupe la région en deux. L’égalité reste valable si c est à l’extérieur : la portion au-delà de l’intervalle est parcourue jusqu’à c, puis en sens inverse, une fois avec chaque signe ; les deux contributions s’annulent. La page dessine le contour de cette portion sans la colorier, afin que le coloriage représente toujours l’aire entre les bornes.

Ajouter une constante $m$ à f ajoute une bande de hauteur m et de largeur $b - a$ : $\int_a^b (f(x) + m)\,dx$ $= \int_a^b f(x)\,dx + m(b - a)$. La bande suit la courbe, mais son aire algébrique est celle d’un rectangle ; la courbe en pointillés indique la position initiale de f.

Diviser l’intégrale par la largeur donne la hauteur moyenne, $\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$ pour $a \ne b$. Sur cet intervalle, le rectangle de hauteur $\bar{f}$ a la même aire algébrique que la courbe. Ce n’est généralement pas la moyenne des hauteurs aux deux extrémités. Si f est continue, la courbe prend la valeur $\bar{f}$ en un point entre a et b : c’est le théorème de la moyenne pour les intégrales.