Integrale definito

Per una funzione integrabile $f$ ed estremi $a < b$, l’integrale definito $\int_a^b f(x)\,dx$ è l’area tra il grafico e l’asse x situata sopra l’asse, meno quella situata sotto. Qui la regione da a a b è disegnata a pezzi: piena dove conta positivamente, tratteggiata dove conta negativamente. L’indicatore scrive l’integrale come pieno meno tratteggiato. Accanto c’è l’area tra gli estremi, $\int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} |f(x)|\,dx$, che conta ogni pezzo positivamente; coincidono solo se la curva resta sopra l’asse. L’integrale è definito come limite di somme di Riemann; per i polinomi di questa pagina viene calcolato esattamente tramite una primitiva.

Ogni termine di una somma di Riemann è un’altezza per una larghezza, $f(x_i)\,\Delta x$. Sotto l’asse l’altezza è negativa, quindi quella striscia si sottrae al totale. Anche la larghezza ha un segno: andando da a a b, $\Delta x = (b - a)/n$. Quando b è a sinistra di a, ogni pezzo cambia segno. Ecco perché $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$, perché una regione sotto l’asse conta positivamente se percorsa da destra a sinistra, e perché $\int_a^a f(x)\,dx = 0$.

Per tre punti qualsiasi vale $\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$. Se c è tra a e b, la regione viene divisa in due. L’identità vale anche quando c è all’esterno: il tratto oltre l’intervallo viene percorso fino a c e poi a ritroso, una volta con ciascun segno, e i contributi si annullano. La pagina traccia solo il contorno di quel tratto, senza colorarlo, così la colorazione rappresenta sempre l’area tra gli estremi.

Aggiungere una costante $m$ a f aggiunge una fascia di altezza m e larghezza $b - a$: $\int_a^b (f(x) + m)\,dx$ $= \int_a^b f(x)\,dx + m(b - a)$. La fascia segue la curva, ma la sua area con segno è quella di un rettangolo; la curva tratteggiata mostra la posizione iniziale di f.

Dividendo l’integrale per la larghezza si ottiene l’altezza media, $\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$ per $a \ne b$. Il rettangolo di altezza $\bar{f}$ sull’intervallo ha la stessa area con segno della curva. In generale non è la media delle altezze ai due estremi. Se f è continua, la curva assume il valore $\bar{f}$ in un punto tra a e b: è il teorema della media integrale.