Integral tentu

Untuk fungsi terintegralkan $f$ dan batas $a < b$, integral tentu $\int_a^b f(x)\,dx$ adalah luas antara grafik dan sumbu x yang berada di atas sumbu, dikurangi luas di bawahnya. Di sini daerah dari a hingga b digambar bagian demi bagian: berwarna penuh jika dihitung positif dan berarsir jika dihitung negatif. Indikator menuliskan integral sebagai penuh dikurangi arsiran. Di sampingnya terdapat luas di antara batas, $\int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} |f(x)|\,dx$, yang menghitung setiap bagian sebagai positif; keduanya sama hanya jika kurva tetap di atas sumbu. Integral didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann; untuk polinomial di halaman ini, integral dihitung secara eksak dari antiturunan.

Setiap suku jumlah Riemann adalah tinggi dikalikan lebar, $f(x_i)\,\Delta x$. Di bawah sumbu, tingginya negatif, sehingga potongan itu mengurangi jumlah keseluruhan. Lebar juga memiliki tanda: dari a menuju b, $\Delta x = (b - a)/n$, sehingga ketika b berada di sebelah kiri a, setiap bagian berganti tanda. Itulah mengapa $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$, mengapa daerah di bawah sumbu dihitung positif jika ditelusuri dari kanan ke kiri, dan mengapa $\int_a^a f(x)\,dx = 0$.

Untuk tiga titik mana pun, berlaku $\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$. Jika c berada di antara a dan b, daerah terbagi menjadi dua. Ini tetap berlaku ketika c berada di luar: bagian di luar interval ditelusuri menuju c dan kembali lagi, masing-masing dengan tanda berbeda, sehingga keduanya saling menghapus. Halaman ini hanya menggambar batas bagian tambahan itu, tanpa mewarnainya, agar warna selalu berarti luas di antara batas.

Menambahkan konstanta $m$ ke f menambahkan pita setinggi m dan selebar $b - a$: $\int_a^b (f(x) + m)\,dx$ $= \int_a^b f(x)\,dx + m(b - a)$. Pita itu mengikuti kurva, tetapi luas bertandanya sama dengan luas persegi panjang; kurva putus-putus menunjukkan posisi f sebelumnya.

Membagi integral dengan lebar menghasilkan tinggi rata-rata, $\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$ untuk $a \ne b$. Persegi panjang setinggi $\bar{f}$ di atas interval memiliki luas bertanda yang sama dengan kurva. Nilainya umumnya bukan rata-rata tinggi kedua ujung. Jika f kontinu, kurva mencapai nilai $\bar{f}$ di suatu titik antara a dan b; inilah teorema nilai rata-rata untuk integral.