Bestimmtes Integral

Für eine integrierbare Funktion $f$ und Grenzen $a < b$ ist das bestimmte Integral $\int_a^b f(x)\,dx$ die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse oberhalb der Achse minus der Fläche unterhalb. Hier wird der Bereich von a bis b stückweise gezeichnet: ausgefüllt, wo er positiv zählt, und schraffiert, wo er negativ zählt. Die Anzeige schreibt das Integral als ausgefüllt minus schraffiert. Daneben steht die Fläche zwischen den Grenzen, $\int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} |f(x)|\,dx$, bei der jedes Stück positiv zählt. Beide stimmen nur überein, wenn die Kurve oberhalb der Achse bleibt. Das Integral ist als Grenzwert von Riemannsummen definiert; für die Polynome auf dieser Seite wird es mithilfe einer Stammfunktion exakt berechnet.

Jeder Summand einer Riemannsumme ist Höhe mal Breite, $f(x_i)\,\Delta x$. Unterhalb der Achse ist die Höhe negativ, sodass dieser Streifen vom Gesamtwert abgezogen wird. Auch die Breite hat ein Vorzeichen: Von a nach b gilt $\Delta x = (b - a)/n$. Liegt b links von a, wechselt deshalb jedes Stück das Vorzeichen. Das erklärt $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$, warum ein Bereich unterhalb der Achse beim Durchlaufen von rechts nach links positiv zählt, und warum $\int_a^a f(x)\,dx = 0$.

Für drei beliebige Punkte gilt $\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$. Liegt c zwischen a und b, wird der Bereich dadurch in zwei Teile zerlegt. Die Gleichung gilt auch, wenn c außerhalb liegt: Das Stück jenseits des Intervalls wird bis c und wieder zurück durchlaufen, einmal mit jedem Vorzeichen. Beide Beiträge heben sich auf. Dieses Stück wird hier nur umrandet, nicht eingefärbt, sodass die Färbung immer die Fläche zwischen den Grenzen bezeichnet.

Addiert man zu f eine Konstante $m$, kommt ein Band der Höhe m und Breite $b - a$ hinzu: $\int_a^b (f(x) + m)\,dx$ $= \int_a^b f(x)\,dx + m(b - a)$. Das Band folgt der Kurve, hat aber dieselbe orientierte Fläche wie ein Rechteck. Die gestrichelte Kurve zeigt die ursprüngliche Lage von f.

Das Integral geteilt durch die Breite ergibt die mittlere Höhe, $\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$ für $a \ne b$. Das Rechteck der Höhe $\bar{f}$ über dem Intervall hat dieselbe orientierte Fläche wie die Kurve. Dies ist im Allgemeinen nicht der Mittelwert der beiden Endhöhen. Ist f stetig, nimmt die Kurve irgendwo zwischen a und b den Wert $\bar{f}$ an; das ist der Mittelwertsatz der Integralrechnung.