정적분

적분 가능한 함수 $f$와 구간 끝점 $a < b$에 대해 정적분 $\int_a^b f(x)\,dx$는 그래프와 x축 사이에서 축 위의 넓이에서 축 아래의 넓이를 뺀 값입니다. 여기서는 a부터 b까지를 부분별로 그립니다. 양수로 계산하는 곳은 단색, 음수로 계산하는 곳은 빗금으로 나타내고, 표시창은 적분을 단색에서 빗금을 뺀 값으로 보여 줍니다. 옆에는 모든 부분을 양수로 세는 구간 사이의 넓이 $\int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} |f(x)|\,dx$가 있습니다. 둘은 곡선이 축 위에 있을 때만 같습니다. 적분은 리만 합의 극한으로 정의하며, 이 페이지의 다항함수는 부정적분을 이용해 정확히 계산합니다.

리만 합의 각 항은 높이와 가로 길이의 곱 $f(x_i)\,\Delta x$입니다. 축 아래에서는 높이가 음수이므로 그 띠가 합에서 빠집니다. 가로 길이에도 부호가 있습니다. a에서 b로 갈 때 $\Delta x = (b - a)/n$이므로 b가 a의 왼쪽이면 모든 부분의 부호가 바뀝니다. 이 때문에 $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$이고, 축 아래 영역도 오른쪽에서 왼쪽으로 가면 양수로 계산하며, $\int_a^a f(x)\,dx = 0$입니다.

어떤 세 점에 대해서도 $\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$입니다. c가 a와 b 사이에 있으면 영역을 둘로 자릅니다. c가 바깥에 있어도 성립합니다. 구간 밖의 부분을 c까지 갔다가 돌아오면서 반대 부호로 한 번씩 세므로 서로 상쇄됩니다. 이 추가 부분은 색칠하지 않고 윤곽만 표시해, 색칠한 곳이 항상 원래 구간 사이의 넓이를 뜻하도록 했습니다.

f에 상수 $m$를 더하면 높이 m, 가로 길이 $b - a$인 띠가 더해집니다. 즉 $\int_a^b (f(x) + m)\,dx$ $= \int_a^b f(x)\,dx + m(b - a)$입니다. 띠는 곡선을 따라 휘지만 부호를 고려한 넓이는 직사각형과 같습니다. 점선 곡선은 f의 원래 위치를 보여 줍니다.

적분값을 가로 길이로 나누면 평균 높이를 얻습니다. $a \ne b$일 때 $\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$입니다. 구간 위에 놓인 높이 $\bar{f}$의 직사각형은 곡선과 부호를 고려한 넓이가 같습니다. 일반적으로 양 끝 높이의 평균과는 다릅니다. f가 연속이면 a와 b 사이 어딘가에서 $\bar{f}$ 값을 갖습니다. 이것이 적분의 평균값 정리입니다.