التكامل المحدد

لدالة قابلة للتكامل $f$ وحدَّين $a < b$، يكون التكامل المحدد $\int_a^b f(x)\,dx$ هو مساحة المنطقة بين المنحنى ومحور x الواقعة فوق المحور، ناقص مساحة المنطقة الواقعة تحته. تُرسم هنا المنطقة من a إلى b جزءًا جزءًا: مصمتة حيث تُحسب بالموجب، ومخططة حيث تُحسب بالسالب، وتكتب شاشة القراءة التكامل على صورة المساحة المصمتة ناقص المخططة. وبجانبه المساحة بين الحدين، $\int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} |f(x)|\,dx$، التي تحسب كل جزء بالموجب؛ ولا تتساويان إلا حين يبقى المنحنى فوق المحور. يُعرَّف التكامل بأنه نهاية مجاميع ريمان؛ ولكثيرات الحدود في هذه الصفحة يُحسب بدقة من دالة أصلية.

كل حد في مجموع ريمان هو ارتفاع مضروب في عرض، $f(x_i)\,\Delta x$. تحت المحور يكون الارتفاع سالبًا، لذا يُطرح ذلك الشريط من المجموع. وللعرض إشارة أيضًا: عند الانتقال من a إلى b، $\Delta x = (b - a)/n$، لذلك عندما تقع b إلى يسار a تتغير إشارة كل جزء. وهذا يفسر $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$، وسبب احتساب المنطقة تحت المحور بالموجب عند السير من اليمين إلى اليسار، وسبب $\int_a^a f(x)\,dx = 0$.

لأي ثلاث نقاط، $\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$. عندما تقع c بين a وb، تقسم هذه العلاقة المنطقة إلى جزأين. وتبقى صحيحة عندما تقع c خارجهما: نقطع الامتداد خارج الفترة إلى c ثم نعود، مرة بكل إشارة، فيلغي أحدهما الآخر. تعرض الصفحة حدود ذلك الامتداد بدلًا من تظليله، ولذلك يشير التظليل دائمًا إلى المساحة بين الحدين.

إضافة ثابت $m$ إلى f تضيف شريطًا ارتفاعه m وعرضه $b - a$: $\int_a^b (f(x) + m)\,dx$ $= \int_a^b f(x)\,dx + m(b - a)$. يتبع الشريط المنحنى، لكن مساحته بإشارتها تساوي مساحة مستطيل؛ ويُظهر المنحنى المتقطع الموضع السابق لـf.

تعطي قسمة التكامل على العرض متوسط الارتفاع، $\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$ عندما $a \ne b$. للمستطيل ذي الارتفاع $\bar{f}$ على الفترة المساحة نفسها بإشارتها التي للمنحنى. وهذا ليس عمومًا متوسط الارتفاعين عند الطرفين. إذا كانت f متصلة، فإن المنحنى يأخذ القيمة $\bar{f}$ في موضع ما بين a وb؛ وهذه هي مبرهنة القيمة المتوسطة للتكاملات.