定積分

對可積分函數$f$與上下限$a < b$，定積分$\int_a^b f(x)\,dx$就是圖像與x軸之間，軸上方面積減去軸下方面積。這裡將a到b的區域一塊塊畫出來：記正的塗實色，記負的畫斜線，顯示欄則把積分寫成實色減去斜線。旁邊是上下限之間的面積$\int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} |f(x)|\,dx$，每一塊都記正；只有曲線都在軸上方時，兩者才會相同。積分的定義是黎曼和的極限；對本頁的多項式，則透過反導函數精確算出。

黎曼和的每一項，都是高度乘上寬度$f(x_i)\,\Delta x$。軸下方的高度為負，因此這一條會從總量中扣掉。寬度也有符號：從a走向b時，$\Delta x = (b - a)/n$，所以b若在a左邊，每一塊都會變號。這就是為什麼$\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$，為什麼軸下區域從右往左走時反而記正，以及為什麼$\int_a^a f(x)\,dx = 0$。

對任意三點，都有$\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$。c在a與b之間時，就是把區域切成兩塊；c在外面也成立：超出區間的那一段先走到c，再走回來，各以正負符號算一次，正好抵消。這一段只畫輪廓、不著色，讓著色部分始終代表上下限之間的面積。

給f加上常數$m$，就多出一條高m、寬$b - a$的帶：$\int_a^b (f(x) + m)\,dx$$= \int_a^b f(x)\,dx + m(b - a)$。這條帶雖然沿著曲線彎曲，帶符號面積卻與長方形一樣；虛線曲線表示原本的f。

將積分除以寬度，就得到平均高度：在$a \ne b$時為$\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$。區間上高$\bar{f}$的長方形，具有與曲線相同的帶符號面積。它通常不是兩端高度的平均。若f連續，曲線就會在a與b之間某處取到$\bar{f}$；這就是積分的均值定理。