Integral definida

Para una función integrable $f$ y límites $a < b$, la integral definida $\int_a^b f(x)\,dx$ es el área entre la gráfica y el eje x situada sobre el eje, menos el área situada debajo. Aquí la región de a a b se dibuja por partes: relleno sólido donde cuenta positivamente y rayado donde cuenta negativamente. El indicador expresa la integral como sólido menos rayado. A su lado está el área entre los límites, $\int_{\min(a,b)}^{\max(a,b)} |f(x)|\,dx$, que cuenta todas las partes positivamente; solo coinciden cuando la curva se mantiene sobre el eje. La integral se define como un límite de sumas de Riemann; para los polinomios de esta página se calcula exactamente mediante una primitiva.

Cada término de una suma de Riemann es una altura por una anchura, $f(x_i)\,\Delta x$. Bajo el eje, la altura es negativa, por lo que esa franja resta al total. La anchura también tiene signo: al ir de a a b, $\Delta x = (b - a)/n$. Si b está a la izquierda de a, cada parte cambia de signo. Por eso $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$, por eso una región bajo el eje cuenta positivamente al recorrerla de derecha a izquierda, y por eso $\int_a^a f(x)\,dx = 0$.

Para tres puntos cualesquiera, $\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$. Si c está entre a y b, esto divide la región en dos. También se cumple si c está fuera: el tramo adicional se recorre hasta c y de vuelta, una vez con cada signo, y ambas contribuciones se cancelan. La página solo perfila ese tramo, sin colorearlo, para que el coloreado represente siempre el área entre los límites.

Sumar una constante $m$ a f añade una banda de altura m y anchura $b - a$: $\int_a^b (f(x) + m)\,dx$ $= \int_a^b f(x)\,dx + m(b - a)$. La banda sigue la curva, pero su área con signo es la de un rectángulo; la curva discontinua indica dónde estaba f.

Dividir la integral entre la anchura da la altura media, $\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$ para $a \ne b$. El rectángulo de altura $\bar{f}$ sobre el intervalo tiene la misma área con signo que la curva. En general, no es el promedio de las alturas de los dos extremos. Si f es continua, la curva toma el valor $\bar{f}$ en algún punto entre a y b: es el teorema del valor medio para integrales.