函数

从集合$A$到集合$B$的函数$f$，记作$f\colon A \to B$，让$A$里的每个元素$x$对应$B$里恰好一个元素，记作$f(x)$。函数也叫映射，不少书只把数集之间的映射叫函数。$A$是定义域，即输入的集合；$B$叫陪域，是输出可以取值的范围；实际取到的输出组成值域。本页把对应画成从$A$指向$B$的箭头，同一组对应也画成坐标格上的点$(x, y)$；读数说出它是不是函数，不是的话，是哪个输入不满足条件。

条件只对输入提要求：每个输入都要有输出，而且只能有一个。哪个输入没有箭头，或者连出两条以上，这些对应就不是从$A$到$B$的函数。输出一边没有这样的要求：几个输入可以共用一个输出，比如在$x^2$下$-2$和$2$都到$4$；$B$里的元素也可以一条箭头都没有。常数函数把每个输入都送到同一个输出。

函数也不需要公式：给每个输入随便指定一个输出，就定义了一个函数，不管有没有公式能写出它。反过来，写出一个方程也不保证是函数。在这两个集合上，$y^2 = x$让$1$对应$-1$和$1$两个数，又在$B$里找不到$-2$、$-1$、$2$的对应。

一组对应是不是函数，取决于$A$。从第一个精选视角里的函数出发，去掉箭头$0 \to 4$。剩下的对应就不再是从$A$到$B$的函数，因为$0$在$A$里却没有输出；可同样这些箭头，在更小的集合$\{-2, -1, 1, 2\}$上就是函数。不过缩小输入的集合，只解决被去掉的那些输入：在$\{-2, -1, 1, 2\}$上，$y^2 = x$仍然不是函数，$1$还是有两个输出，$-2$、$-1$和$2$还是没有输出。只给出公式时，通常把公式有意义的所有$x$当作定义域。有些领域（比如可计算性理论）也讲部分函数，允许有的输入没有输出；本页说的从$A$到$B$的函数，每个输入都有输出。

在坐标格上，过输入$x$的竖直线，$x$有几个输出就碰到几个点。所以，当且仅当对$A$里的每个$x$，过$x$的竖直线都恰好碰到一个点，这些对应才是从$A$到$B$的函数；过$A$以外的数的竖直线不用检查。这个检验就是从图像上读出定义，因为箭头和点是同一组对应。