Fonction

Une fonction $f$ d’un ensemble $A$ dans un ensemble $B$, notée $f\colon A \to B$, associe à chaque élément $x$ de $A$ exactement un élément de $B$, noté $f(x)$. On parle aussi d’application ou de correspondance fonctionnelle. $A$ est l’ensemble de définition, celui des entrées ; $B$ est l’ensemble d’arrivée, où les sorties peuvent être prises ; les sorties effectivement atteintes forment l’image de la fonction. Ici, vous tracez la correspondance par des flèches de $A$ vers $B$ et retrouvez les mêmes couples sous forme de points $(x, y)$ sur une grille. L’affichage indique s’ils définissent une fonction et, sinon, quelle entrée enfreint la condition.

La condition porte uniquement sur les entrées. Chacune doit avoir une sortie, et une seule : une entrée sans flèche, ou avec au moins deux flèches, signifie que les couples ne définissent pas une fonction de $A$ dans $B$. Les sorties n’ont pas cette contrainte. Plusieurs entrées peuvent partager une sortie, comme $-2$ et $2$ partagent $4$ avec $x^2$, et des éléments de $B$ peuvent ne recevoir aucune flèche ; une fonction constante envoie toutes les entrées vers la même sortie.

Une fonction n’a pas non plus besoin de formule : attribuer une seule sortie à chaque entrée définit une fonction, qu’une formule la décrive ou non. Et une équation ne suffit pas à en garantir une. Sur ces ensembles, $y^2 = x$ associe $1$ à la fois à $-1$ et à $1$, sans rien associer à $-2$, $-1$ et $2$ dans $B$.

Le fait qu’un ensemble de couples soit une fonction dépend de $A$. Partez de la fonction du premier exemple et retirez sa flèche $0 \to 4$. Ce qui reste n’est plus une fonction de $A$ dans $B$, car $0$ appartient à $A$ et n’a pas de sortie ; pourtant, ces mêmes flèches définissent une fonction sur le plus petit ensemble $\{-2, -1, 1, 2\}$. Réduire l’ensemble des entrées ne règle cependant que le cas des entrées retirées : sur $\{-2, -1, 1, 2\}$, $y^2 = x$ n’est toujours pas une fonction, puisque $1$ a encore deux sorties, tandis que $-2$, $-1$ et $2$ n’en ont aucune. Lorsqu’une fonction est donnée uniquement par une formule, on prend généralement pour ensemble de définition tous les $x$ pour lesquels la formule a un sens. Certains domaines, comme la théorie de la calculabilité, parlent aussi de fonctions partielles, qui peuvent laisser des entrées sans sortie ; une fonction de $A$ dans $B$, comme sur cette page, n’en laisse aucune.

Sur la grille, la droite verticale passant par une entrée $x$ rencontre un point pour chaque sortie de $x$. Les couples définissent donc une fonction de $A$ dans $B$ exactement lorsque, pour chaque $x$ de $A$, la verticale passant par $x$ rencontre exactement un point ; les droites passant par des nombres hors de $A$ n’ont rien à vérifier. Ce test est la définition lue sur le graphique, puisque les flèches et les points représentent les mêmes couples.