함수

집합 $A$에서 집합 $B$로 가는 함수 $f$는 $f\colon A \to B$로 쓰며, $A$의 각 원소 $x$를 $B$의 원소 정확히 하나에 대응시킵니다. 그 원소를 $f(x)$로 씁니다. 사상 또는 매핑이라고도 합니다. $A$는 입력의 집합인 정의역이고, $B$는 가능한 출력이 속하는 공역입니다. 실제로 도달하는 출력들은 치역, 즉 상을 이룹니다. 여기서는 $A$에서 $B$로 향하는 화살표로 대응을 그리고, 같은 순서쌍을 격자 위의 점 $(x, y)$로 봅니다. 표시창은 함수인지, 아니라면 어느 입력이 조건을 어기는지 알려 줍니다.

조건은 입력에만 적용됩니다. 각 입력에는 출력이 하나, 오직 하나 있어야 합니다. 화살표가 없거나 두 개 이상인 입력이 있으면 순서쌍들은 $A$에서 $B$로 가는 함수가 아닙니다. 출력에는 이런 조건이 없습니다. $x^2$에서 $-2$와 $2$가 $4$를 공유하듯 여러 입력이 한 출력을 공유할 수 있습니다. $B$의 원소에 아무 화살표도 닿지 않아도 됩니다. 상수함수는 모든 입력을 같은 출력으로 보냅니다.

함수에는 공식도 필요 없습니다. 각 입력에 출력 하나를 주면, 이를 설명하는 공식이 있든 없든 함수가 정의됩니다. 반대로 방정식이 있다고 해서 함수가 보장되지는 않습니다. 이 집합들에서 $y^2 = x$는 $1$을 $-1$와 $1$ 모두에 대응시키지만, $-2$, $-1$, $2$에는 $B$ 안의 출력을 주지 않습니다.

순서쌍의 집합이 함수인지 여부는 $A$에 달려 있습니다. 첫 번째 예의 함수에서 화살표 $0 \to 4$을 지워 보세요. $0$는 $A$에 있지만 출력이 없으므로, 남은 대응은 더 이상 $A$에서 $B$로 가는 함수가 아닙니다. 하지만 같은 화살표도 더 작은 집합 $\{-2, -1, 1, 2\}$ 위에서는 함수입니다. 입력 집합을 줄이면 제외한 입력의 문제만 해결됩니다. $\{-2, -1, 1, 2\}$ 위에서도 $y^2 = x$는 여전히 함수가 아닙니다. $1$에는 아직 출력이 두 개이고, $-2$, $-1$, $2$에는 없기 때문입니다. 함수를 공식만으로 주면 보통 그 공식이 의미를 갖는 모든 $x$를 정의역으로 삼습니다. 계산 가능성 이론 같은 분야에서는 출력이 없는 입력도 허용하는 부분함수를 다룹니다. 이 페이지처럼 $A$에서 $B$로 가는 함수는 어떤 입력도 출력 없이 남겨 두지 않습니다.

격자에서 입력 $x$를 지나는 수직선은 $x$의 출력마다 점을 하나씩 만납니다. 따라서 순서쌍들이 $A$에서 $B$로 가는 함수라는 것은, $A$의 모든 $x$에 대해 $x$를 지나는 수직선이 정확히 한 점을 만난다는 것과 같습니다. $A$ 바깥의 수를 지나는 직선은 확인할 필요가 없습니다. 화살표와 점이 같은 순서쌍이므로, 이 검사는 정의를 그래프에서 읽은 것입니다.