函數

從集合$A$到集合$B$的函數$f$，記作$f\colon A \to B$，讓$A$的每個元素$x$恰好對應$B$的一個元素，記作$f(x)$。它也稱為映射，或具有這種性質的對應。$A$是定義域，也就是輸入的集合；$B$是對應域，輸出可以從中選取；實際到達的輸出組成值域，也稱為像。這裡用從$A$指向$B$的箭頭畫出對應，再把同一組對應畫成座標格上的點$(x, y)$；讀數會顯示是否構成函數，若不是，則指出哪個輸入不符條件。

條件只針對輸入。每個輸入都需要輸出，而且只能有一個：某個輸入沒有箭頭，或有兩條以上，這組對應就不是從$A$到$B$的函數。輸出沒有同樣的限制。多個輸入可以共用同一輸出，例如在$x^2$下，$-2$與$2$都對應$4$；$B$中的元素也可以完全沒有箭頭指到。常數函數就把所有輸入送到同一輸出。

函數也不需要公式：為每個輸入指定任意一個輸出，就定義了函數，不論有沒有公式描述它。反過來，有方程式並不保證是函數。在這兩個集合上，$y^2 = x$讓$1$同時對應$-1$與$1$，卻沒有在$B$中為$-2$、$-1$和$2$找到輸出。

一組對應是不是函數，取決於$A$。從第一個精選的函數出發，移除箭頭$0 \to 4$。剩下的對應不再是從$A$到$B$的函數，因為$0$在$A$中卻沒有輸出；但同一組箭頭，在較小的集合$\{-2, -1, 1, 2\}$上就是函數。不過，縮小輸入集合只解決被移除的輸入：在$\{-2, -1, 1, 2\}$上，$y^2 = x$仍不是函數，因為$1$仍有兩個輸出，而$-2$、$-1$、$2$仍沒有輸出。只用公式給出函數時，通常把讓公式有意義的所有$x$作為定義域。可計算性理論等領域也會談到部分函數，允許某些輸入沒有輸出；本頁這樣從$A$到$B$的函數則不遺漏任何輸入。

在座標格上，通過輸入$x$的鉛直線，會在$x$的每個輸出處碰到一個點。因此，這組對應是從$A$到$B$的函數，恰好等價於：對$A$中的每個$x$，通過$x$的鉛直線都恰好碰到一個點。通過$A$以外數值的線不必檢查。箭頭和點表示同一組對應，所以這項檢驗就是從圖上讀出定義。