Fonksiyon

$A$ kümesinden $B$ kümesine, $f\colon A \to B$ biçiminde yazılan bir fonksiyon $f$, $A$ kümesinin her $x$ elemanını $B$ kümesinin tam bir elemanıyla eşler; bu eleman $f(x)$ ile gösterilir. Buna gönderim veya dönüşüm de denir. $A$, girdilerin oluşturduğu tanım kümesidir; $B$, çıktıların seçilebildiği hedef kümedir; gerçekten ulaşılan çıktılar ise görüntü kümesini oluşturur. Burada eşleşmeyi $A$ kümesinden $B$ kümesine oklarla çizer, aynı çiftleri ızgarada $(x, y)$ noktaları olarak görürsünüz. Gösterge, bir fonksiyon oluşup oluşmadığını ve oluşmuyorsa hangi girdinin koşulu bozduğunu söyler.

Koşul yalnızca girdilerle ilgilidir. Her girdinin bir ve yalnız bir çıktısı olmalıdır. Oksuz ya da iki veya daha fazla oklu bir girdi varsa, çiftler $A$ kümesinden $B$ kümesine bir fonksiyon oluşturmaz. Çıktılar için böyle bir koşul yoktur. $x^2$ altında $-2$ ve $2$ aynı $4$ çıktısını paylaştığı gibi, birden çok girdi bir çıktıyı paylaşabilir. $B$ kümesindeki bazı elemanlara hiç ok gelmeyebilir; sabit fonksiyon bütün girdileri aynı çıktıya gönderir.

Fonksiyonun formüle de ihtiyacı yoktur: her girdiye tek bir çıktı vermek, bunu açıklayan bir formül olsa da olmasa da bir fonksiyon tanımlar. Bir denklem ise fonksiyon olmayı garanti etmez. Bu kümelerde $y^2 = x$, $1$ girdisini hem $-1$ hem $1$ ile eşler; $-2$, $-1$ ve $2$ için $B$ kümesinde hiçbir çıktı vermez.

Bir çiftler kümesinin fonksiyon olup olmadığı $A$ kümesine bağlıdır. İlk örnekteki fonksiyondan $0 \to 4$ okunu kaldırın. $0$, $A$ kümesinde olup çıktısız kaldığı için, geriye kalanlar artık $A$ kümesinden $B$ kümesine bir fonksiyon değildir. Oysa aynı oklar daha küçük $\{-2, -1, 1, 2\}$ kümesi üzerinde bir fonksiyon oluşturur. Girdi kümesini küçültmek yalnızca çıkardığınız girdilerin sorununu çözer: $\{-2, -1, 1, 2\}$ üzerinde $y^2 = x$ yine fonksiyon değildir; çünkü $1$ hâlâ iki çıktı alırken $-2$, $-1$ ve $2$ hiç çıktı almaz. Bir fonksiyon yalnızca formülle verildiğinde, tanım kümesi genellikle formülün anlamlı olduğu bütün $x$ değerleri olarak alınır. Hesaplanabilirlik kuramı gibi bazı alanlarda, girdileri çıktısız bırakabilen kısmi fonksiyonlardan da söz edilir. Bu sayfadaki gibi $A$ kümesinden $B$ kümesine bir fonksiyon ise hiçbir girdiyi çıktısız bırakmaz.

Izgarada bir $x$ girdisinden geçen düşey doğru, $x$ girdisinin her çıktısı için bir noktaya rastlar. Dolayısıyla çiftlerin $A$ kümesinden $B$ kümesine bir fonksiyon olması için ve ancak bunun için, $A$ kümesindeki her $x$ için $x$ üzerinden geçen düşey doğrunun tam bir noktaya rastlaması gerekir. $A$ dışındaki sayılardan geçen doğrularda denetlenecek bir şey yoktur. Test, tanımın grafikten okunmasıdır; çünkü oklar ve noktalar aynı çiftleri temsil eder.