Funktion

Eine Funktion $f$ von einer Menge $A$ in eine Menge $B$, geschrieben $f\colon A \to B$, ordnet jedem Element $x$ von $A$ genau ein Element von $B$ zu, geschrieben $f(x)$. Man nennt sie auch Abbildung oder Zuordnung. $A$ ist die Definitionsmenge, also die Menge der Eingaben; $B$ ist die Zielmenge, aus der die Ausgaben stammen dürfen. Die tatsächlich erreichten Ausgaben bilden die Bildmenge. Hier zeichnest du die Zuordnung als Pfeile von $A$ nach $B$ und siehst dieselben Paare als Punkte $(x, y)$ im Raster. Die Anzeige sagt, ob sie eine Funktion bilden und, falls nicht, welche Eingabe die Bedingung verletzt.

Die Bedingung betrifft nur die Eingaben. Jede braucht eine Ausgabe, und zwar genau eine: Hat eine Eingabe keinen Pfeil oder mindestens zwei, bilden die Paare keine Funktion von $A$ nach $B$. Für die Ausgaben gilt diese Bedingung nicht. Mehrere Eingaben dürfen dieselbe Ausgabe haben, so wie $-2$ und $2$ unter $x^2$ beide $4$ ergeben. Manche Elemente von $B$ dürfen überhaupt keinen Pfeil erhalten; eine konstante Funktion bildet alle Eingaben auf dieselbe Ausgabe ab.

Eine Funktion braucht auch keine Formel: Jeder Eingabe genau eine Ausgabe zuzuordnen definiert eine Funktion, unabhängig davon, ob eine Formel sie beschreibt. Umgekehrt garantiert eine Gleichung noch keine Funktion. Auf diesen Mengen ordnet $y^2 = x$ der Zahl $1$ sowohl $-1$ als auch $1$ zu, während $-2$, $-1$ und $2$ nichts aus $B$ erhalten.

Ob eine Menge von Paaren eine Funktion bildet, hängt von $A$ ab. Entferne bei der Funktion im ersten Beispiel den Pfeil $0 \to 4$. Die verbleibende Zuordnung ist keine Funktion von $A$ nach $B$ mehr, denn $0$ gehört zu $A$ und hat keine Ausgabe. Dieselben Pfeile bilden jedoch eine Funktion auf der kleineren Menge $\{-2, -1, 1, 2\}$. Eine kleinere Eingabemenge löst nur die Probleme der weggelassenen Eingaben: Auf $\{-2, -1, 1, 2\}$ ist $y^2 = x$ weiterhin keine Funktion, weil $1$ noch zwei Ausgaben hat und $-2$, $-1$ und $2$ keine. Wird eine Funktion nur durch eine Formel angegeben, nimmt man gewöhnlich alle $x$, für die die Formel sinnvoll ist, als Definitionsmenge. Manche Gebiete, etwa die Berechenbarkeitstheorie, verwenden auch partielle Funktionen, bei denen Eingaben ohne Ausgabe bleiben dürfen. Eine Funktion von $A$ nach $B$, wie auf dieser Seite, lässt keine aus.

Im Raster trifft die senkrechte Gerade durch eine Eingabe $x$ für jede Ausgabe von $x$ einen Punkt. Die Paare bilden also genau dann eine Funktion von $A$ nach $B$, wenn für jedes $x$ in $A$ die senkrechte Gerade durch $x$ genau einen Punkt trifft. Geraden durch Zahlen außerhalb von $A$ müssen nichts prüfen. Der Test liest die Definition aus dem Bild ab, denn Pfeile und Punkte stellen dieselben Paare dar.