Función

Una función $f$ de un conjunto $A$ en un conjunto $B$, escrita $f\colon A \to B$, asigna a cada elemento $x$ de $A$ exactamente un elemento de $B$, escrito $f(x)$. También se llama aplicación o correspondencia funcional. $A$ es el dominio, el conjunto de entradas; $B$ es el codominio, del que pueden salir los resultados; las salidas que realmente se alcanzan forman el recorrido, o imagen. Aquí dibujas la correspondencia con flechas de $A$ a $B$ y ves los mismos pares como puntos $(x, y)$ en una cuadrícula. La lectura indica si forman una función y, si no, qué entrada incumple la condición.

La condición solo se refiere a las entradas. Cada una necesita una salida, y solo una: una entrada sin flecha, o con dos o más, significa que los pares no forman una función de $A$ en $B$. Las salidas no tienen esa restricción. Varias entradas pueden compartir una salida, como $-2$ y $2$ comparten $4$ con $x^2$, y algunos elementos de $B$ pueden no recibir ninguna flecha; una función constante envía todas las entradas a la misma salida.

Tampoco hace falta una fórmula: asignar a cada entrada una única salida define una función, haya o no una fórmula que la describa. Y una ecuación no garantiza una función. En estos conjuntos, $y^2 = x$ empareja $1$ tanto con $-1$ como con $1$, y no asigna nada de $B$ a $-2$, $-1$ ni $2$.

Que un conjunto de pares sea una función depende de $A$. Parte de la función del primer ejemplo y quita su flecha $0 \to 4$. Lo que queda ya no es una función de $A$ en $B$, porque $0$ pertenece a $A$ y no tiene salida; sin embargo, las mismas flechas sí forman una función sobre el conjunto más pequeño $\{-2, -1, 1, 2\}$. Reducir el conjunto de entradas solo resuelve el caso de las que se eliminan: sobre $\{-2, -1, 1, 2\}$, $y^2 = x$ sigue sin ser una función, pues $1$ todavía tiene dos salidas y $-2$, $-1$ y $2$ no tienen ninguna. Cuando una función se da solo mediante una fórmula, su dominio suele incluir todos los $x$ para los que la fórmula tiene sentido. En áreas como la teoría de la computabilidad también se habla de funciones parciales, que pueden dejar entradas sin salida; una función de $A$ en $B$, como en esta página, no deja ninguna.

En la cuadrícula, la recta vertical que pasa por una entrada $x$ encuentra un punto por cada salida de $x$. Por tanto, los pares forman una función de $A$ en $B$ exactamente cuando, para cada $x$ de $A$, la vertical que pasa por $x$ encuentra exactamente un punto; las rectas que pasan por números fuera de $A$ no tienen nada que comprobar. La prueba es la definición leída en el gráfico, porque las flechas y los puntos representan los mismos pares.