Função

Uma função $f$ de um conjunto $A$ em um conjunto $B$, escrita $f\colon A \to B$, associa a cada elemento $x$ de $A$ exatamente um elemento de $B$, escrito $f(x)$. Também se chama aplicação ou correspondência funcional. $A$ é o domínio, o conjunto das entradas; $B$ é o conjunto de chegada, de onde podem vir as saídas; as saídas efetivamente atingidas formam o conjunto imagem. Aqui desenha a correspondência com setas de $A$ para $B$ e vê os mesmos pares como pontos $(x, y)$ numa grelha. A leitura indica se definem uma função e, caso contrário, qual a entrada que viola a condição.

A condição refere-se apenas às entradas. Cada uma precisa de uma saída, e só uma: uma entrada sem seta, ou com duas ou mais, significa que os pares não definem uma função de $A$ em $B$. As saídas não têm essa restrição. Várias entradas podem partilhar uma saída, como $-2$ e $2$ partilham $4$ com $x^2$, e alguns elementos de $B$ podem não receber seta alguma; uma função constante envia todas as entradas para a mesma saída.

Uma função também não precisa de fórmula: atribuir a cada entrada uma única saída define uma função, exista ou não uma fórmula que a descreva. E uma equação não garante uma função. Nestes conjuntos, $y^2 = x$ associa $1$ tanto a $-1$ como a $1$, sem atribuir nada de $B$ a $-2$, $-1$ ou $2$.

Se um conjunto de pares é uma função depende de $A$. Parta da função do primeiro exemplo e retire a seta $0 \to 4$. O que resta já não é uma função de $A$ em $B$, porque $0$ pertence a $A$ e não tem saída; no entanto, as mesmas setas definem uma função no conjunto mais pequeno $\{-2, -1, 1, 2\}$. Reduzir o conjunto das entradas só resolve o caso das entradas que se retiram: em $\{-2, -1, 1, 2\}$, $y^2 = x$ continua sem ser uma função, pois $1$ ainda tem duas saídas e $-2$, $-1$ e $2$ não têm nenhuma. Quando uma função é dada apenas por uma fórmula, o domínio costuma incluir todos os $x$ para os quais a fórmula faz sentido. Algumas áreas, como a teoria da computabilidade, falam também de funções parciais, que podem deixar entradas sem saída; uma função de $A$ em $B$, como nesta página, não deixa nenhuma.

Na grelha, a reta vertical que passa por uma entrada $x$ encontra um ponto por cada saída de $x$. Assim, os pares definem uma função de $A$ em $B$ precisamente quando, para cada $x$ de $A$, a vertical que passa por $x$ encontra exatamente um ponto; as retas que passam por números fora de $A$ nada têm a verificar. O teste é a definição lida no gráfico, pois as setas e os pontos representam os mesmos pares.