Функция

Функция $f$ из множества $A$ в множество $B$, обозначаемая $f\colon A \to B$, сопоставляет каждому элементу $x$ множества $A$ ровно один элемент множества $B$, обозначаемый $f(x)$. Её также называют отображением или функциональным соответствием. $A$ — это область определения, множество входов; $B$ — целевое множество, из которого могут браться выходы; фактически достигаемые выходы образуют множество значений, или образ. Здесь вы изображаете соответствие стрелками из $A$ в $B$ и видите те же пары как точки $(x, y)$ на сетке. Индикатор сообщает, образуют ли они функцию, и если нет, то какой вход нарушает условие.

Условие относится только к входам. Каждому нужен выход, и только один: если у входа нет стрелки или их две и более, пары не образуют функцию из $A$ в $B$. У выходов такого ограничения нет. Разные входы могут иметь один выход, как $-2$ и $2$ дают $4$ при $x^2$, а к элементам $B$ может не вести ни одной стрелки. Постоянная функция переводит все входы в один выход.

Формула тоже не обязательна: назначив каждому входу по одному выходу, мы задаём функцию независимо от того, описывает ли её какая-либо формула. А уравнение ещё не гарантирует функцию. На этих множествах $y^2 = x$ сопоставляет входу $1$ оба выхода: $-1$ и $1$, но не даёт $-2$, $-1$ и $2$ никакого выхода из $B$.

Является ли множество пар функцией, зависит от $A$. Возьмите функцию из первого примера и удалите стрелку $0 \to 4$. Оставшееся соответствие уже не является функцией из $A$ в $B$, потому что $0$ принадлежит $A$, но не имеет выхода. Однако те же стрелки задают функцию на меньшем множестве $\{-2, -1, 1, 2\}$. Уменьшение множества входов решает лишь проблемы удалённых входов: на $\{-2, -1, 1, 2\}$ соответствие $y^2 = x$ всё ещё не функция, поскольку у $1$ остаются два выхода, а у $-2$, $-1$ и $2$ их нет. Если функция задана только формулой, её областью определения обычно считают все $x$, для которых формула имеет смысл. В некоторых областях, например в теории вычислимости, рассматривают и частичные функции, которые могут оставлять входы без выхода. Функция из $A$ в $B$, как на этой странице, не оставляет ни одного.

На сетке вертикальная прямая через вход $x$ встречает по одной точке для каждого выхода $x$. Поэтому пары образуют функцию из $A$ в $B$ тогда и только тогда, когда для каждого $x$ из $A$ вертикальная прямая через $x$ встречает ровно одну точку. Прямым через числа вне $A$ нечего проверять. Эта проверка — определение, прочитанное по графику: стрелки и точки представляют одни и те же пары.