Fungsi

Fungsi $f$ dari himpunan $A$ ke himpunan $B$, ditulis $f\colon A \to B$, memasangkan setiap anggota $x$ dari $A$ dengan tepat satu anggota $B$, ditulis $f(x)$. Fungsi juga disebut peta atau pemetaan. $A$ adalah domain, yaitu himpunan masukan; $B$ adalah kodomain, tempat keluaran boleh diambil; keluaran yang benar-benar dicapai membentuk range atau daerah hasil. Di sini Anda menggambar pasangan dengan panah dari $A$ ke $B$ dan melihat pasangan yang sama sebagai titik $(x, y)$ pada kisi. Tampilan menyatakan apakah pasangan itu membentuk fungsi dan, jika tidak, masukan mana yang melanggar syarat.

Syarat ini hanya berlaku untuk masukan. Setiap masukan perlu satu keluaran, dan hanya satu: masukan tanpa panah, atau dengan dua panah atau lebih, berarti pasangan tersebut bukan fungsi dari $A$ ke $B$. Keluaran tidak memiliki syarat seperti itu. Beberapa masukan boleh berbagi keluaran, seperti $-2$ dan $2$ yang sama-sama menghasilkan $4$ pada $x^2$, dan anggota $B$ boleh tidak menerima panah sama sekali; fungsi konstan mengirim setiap masukan ke keluaran yang sama.

Fungsi juga tidak memerlukan rumus: memberi setiap masukan satu keluaran mendefinisikan fungsi, baik ada rumus yang menjelaskannya maupun tidak. Sebaliknya, persamaan belum tentu mendefinisikan fungsi. Pada himpunan ini, $y^2 = x$ memasangkan $1$ dengan $-1$ dan $1$, tetapi tidak memberi $-2$, $-1$, dan $2$ keluaran apa pun di $B$.

Apakah suatu himpunan pasangan merupakan fungsi bergantung pada $A$. Mulailah dari fungsi pada contoh pertama, lalu hapus panah $0 \to 4$. Sisanya bukan lagi fungsi dari $A$ ke $B$, karena $0$ ada di $A$ tetapi tidak memiliki keluaran. Namun, panah yang sama merupakan fungsi pada himpunan yang lebih kecil $\{-2, -1, 1, 2\}$. Memperkecil himpunan masukan hanya menyelesaikan masalah masukan yang dikeluarkan: pada $\{-2, -1, 1, 2\}$, $y^2 = x$ tetap bukan fungsi karena $1$ masih memiliki dua keluaran, sementara $-2$, $-1$, dan $2$ tidak memiliki keluaran. Jika fungsi hanya diberikan dengan rumus, domainnya biasanya dianggap mencakup semua $x$ yang membuat rumus tersebut bermakna. Beberapa bidang, seperti teori komputabilitas, juga menggunakan fungsi parsial, yang boleh membiarkan masukan tanpa keluaran; fungsi dari $A$ ke $B$, seperti pada halaman ini, tidak membiarkan satu pun.

Pada kisi, garis vertikal melalui suatu masukan $x$ mengenai satu titik untuk setiap keluaran $x$. Jadi, pasangan membentuk fungsi dari $A$ ke $B$ tepat ketika, untuk setiap $x$ di $A$, garis vertikal melalui $x$ mengenai tepat satu titik. Garis melalui angka di luar $A$ tidak perlu diperiksa. Uji ini adalah definisi yang dibaca dari grafik, karena panah dan titik mewakili pasangan yang sama.