الدالة

تربط الدالة ⁦$f$⁩ من المجموعة ⁦$A$⁩ إلى المجموعة ⁦$B$⁩، وتُكتب ⁦$f\colon A \to B$⁩، كل عنصر ⁦$x$⁩ من ⁦$A$⁩ بعنصر واحد بالضبط من ⁦$B$⁩، يُكتب ⁦$f(x)$⁩. وتسمّى أيضًا تطبيقًا أو تعيينًا. المجموعة ⁦$A$⁩ هي المجال، أي مجموعة المدخلات، و⁦$B$⁩ هي المجال المقابل الذي يمكن أن تؤخذ منه المخرجات. أما المخرجات التي تصل إليها الدالة فعلًا فتكوّن المدى، أو الصورة. هنا ترسم الارتباط بأسهم من ⁦$A$⁩ إلى ⁦$B$⁩، وترى الأزواج نفسها كنقاط ⁦$(x, y)$⁩ على شبكة. يبيّن العرض هل تشكّل دالة، وإن لم تفعل، فأي مدخل يخالف الشرط.

يتعلق الشرط بالمدخلات وحدها. يحتاج كل مدخل إلى مخرج واحد، وواحد فقط: إذا كان لأحد المدخلات صفر من الأسهم أو سهمان فأكثر، فلا تمثل الأزواج دالة من ⁦$A$⁩ إلى ⁦$B$⁩. لا تخضع المخرجات لهذا الشرط. يمكن لعدة مدخلات أن تشترك في مخرج، كما يشترك ⁦$-2$⁩ و⁦$2$⁩ في ⁦$4$⁩ وفق ⁦$x^2$⁩، وقد لا يصل أي سهم إلى بعض عناصر ⁦$B$⁩. ترسل الدالة الثابتة كل مدخل إلى المخرج نفسه.

ولا تحتاج الدالة إلى صيغة: إسناد مخرج واحد إلى كل مدخل يعرّف دالة، سواء وصفتها صيغة أم لا. والمعادلة وحدها لا تضمن دالة. على هاتين المجموعتين تربط ⁦$y^2 = x$⁩ المدخل ⁦$1$⁩ بكل من ⁦$-1$⁩ و⁦$1$⁩، ولا تمنح ⁦$-2$⁩ و⁦$-1$⁩ و⁦$2$⁩ أي مخرج في ⁦$B$⁩.

يعتمد كون مجموعة أزواج دالة على ⁦$A$⁩. ابدأ بالدالة في المثال الأول واحذف سهمها ⁦$0 \to 4$⁩. ما يتبقى لم يعد دالة من ⁦$A$⁩ إلى ⁦$B$⁩، لأن ⁦$0$⁩ ينتمي إلى ⁦$A$⁩ ولا مخرج له؛ لكن الأسهم نفسها تمثل دالة على المجموعة الأصغر ⁦$\{-2, -1, 1, 2\}$⁩. غير أن تقليص مجموعة المدخلات لا يعالج إلا المدخلات التي تستبعدها: على ⁦$\{-2, -1, 1, 2\}$⁩، لا تزال ⁦$y^2 = x$⁩ ليست دالة، إذ يبقى للمدخل ⁦$1$⁩ مخرجان، بينما تظل ⁦$-2$⁩ و⁦$-1$⁩ و⁦$2$⁩ بلا مخرج. عندما تُعطى الدالة بصيغة فقط، يُفترض عادة أن مجالها يضم كل ⁦$x$⁩ تكون الصيغة ذات معنى عنده. وتتحدث بعض المجالات، مثل نظرية قابلية الحساب، عن دوال جزئية قد تترك مدخلات بلا مخرج؛ أما الدالة من ⁦$A$⁩ إلى ⁦$B$⁩ كما في هذه الصفحة فلا تترك أيًا منها.

على الشبكة، يلتقي الخط الرأسي المار بالمدخل ⁦$x$⁩ نقطة لكل مخرج من مخرجات ⁦$x$⁩. لذا تمثل الأزواج دالة من ⁦$A$⁩ إلى ⁦$B$⁩ إذا وفقط إذا كان، لكل ⁦$x$⁩ في ⁦$A$⁩، الخط الرأسي المار بـ⁦$x$⁩ يلتقي نقطة واحدة بالضبط. أما الخطوط المارة بأعداد خارج ⁦$A$⁩ فليس لديها ما تفحصه. الاختبار هو قراءة التعريف من الرسم، لأن الأسهم والنقاط تمثل الأزواج نفسها.