Funzione

Una funzione $f$ da un insieme $A$ a un insieme $B$, scritta $f\colon A \to B$, associa a ogni elemento $x$ di $A$ esattamente un elemento di $B$, scritto $f(x)$. Si chiama anche applicazione o corrispondenza funzionale. $A$ è il dominio, l’insieme degli ingressi; $B$ è il codominio, da cui possono provenire le uscite; le uscite effettivamente raggiunte formano l’insieme immagine. Qui disegni la corrispondenza con frecce da $A$ a $B$ e vedi le stesse coppie come punti $(x, y)$ su una griglia. Il display indica se formano una funzione e, in caso contrario, quale ingresso viola la condizione.

La condizione riguarda solo gli ingressi. Ciascuno deve avere un’uscita, e una sola: un ingresso senza frecce, oppure con due o più frecce, significa che le coppie non formano una funzione da $A$ a $B$. Le uscite non hanno questo vincolo. Più ingressi possono condividere un’uscita, come $-2$ e $2$ condividono $4$ con $x^2$, e alcuni elementi di $B$ possono non ricevere alcuna freccia; una funzione costante manda tutti gli ingressi alla stessa uscita.

Una funzione non richiede neppure una formula: assegnare a ogni ingresso una sola uscita definisce una funzione, che esista o meno una formula che la descriva. E un’equazione non garantisce una funzione. Su questi insiemi, $y^2 = x$ associa $1$ sia a $-1$ sia a $1$, senza assegnare a $-2$, $-1$ e $2$ alcun elemento di $B$.

Che un insieme di coppie sia una funzione dipende da $A$. Parti dalla funzione del primo esempio e togli la freccia $0 \to 4$. Quello che resta non è più una funzione da $A$ a $B$, perché $0$ appartiene a $A$ e non ha uscita; le stesse frecce, però, sono una funzione sull’insieme più piccolo $\{-2, -1, 1, 2\}$. Ridurre l’insieme degli ingressi risolve soltanto i problemi degli ingressi esclusi: su $\{-2, -1, 1, 2\}$, $y^2 = x$ non è ancora una funzione, perché $1$ ha tuttora due uscite e $-2$, $-1$ e $2$ non ne hanno nessuna. Quando una funzione è data solo da una formula, il suo dominio comprende di solito tutti gli $x$ per cui la formula ha senso. Alcuni ambiti, come la teoria della computabilità, parlano anche di funzioni parziali, che possono lasciare ingressi senza uscita; una funzione da $A$ a $B$, come in questa pagina, non ne lascia nessuno.

Sulla griglia, la retta verticale che passa per un ingresso $x$ incontra un punto per ogni uscita di $x$. Quindi le coppie formano una funzione da $A$ a $B$ esattamente quando, per ogni $x$ di $A$, la verticale che passa per $x$ incontra esattamente un punto; le rette per numeri esterni a $A$ non hanno nulla da verificare. Il test è la definizione letta sul grafico, perché frecce e punti rappresentano le stesse coppie.