関数

集合$A$から集合$B$への関数$f$は$f\colon A \to B$と書き、$A$の各要素$x$に$B$の要素をちょうど1つ対応させます。その要素を$f(x)$と書きます。写像、あるいは関数としての対応とも呼ばれます。$A$は入力の集合である定義域、$B$は出力の候補が属する終域です。実際に到達する出力全体が値域、すなわち像です。ここでは$A$から$B$への矢印で対応を描き、同じ組を格子上の点$(x, y)$として見られます。表示欄は関数になっているか、なっていなければどの入力が条件を満たさないかを示します。

条件は入力についてだけのものです。各入力には出力が必要で、それは1つに限られます。矢印がない入力や2本以上ある入力があれば、その組は$A$から$B$への関数ではありません。出力に同じ条件はありません。$x^2$で$-2$と$2$が同じ$4$に対応するように、複数の入力が1つの出力を共有できます。$B$の要素に矢印が1本も届かなくてもかまいません。定数関数はすべての入力を同じ出力へ送ります。

関数に式は必要ありません。各入力に出力を1つずつ与えれば、それを表す式の有無にかかわらず関数が定まります。逆に、方程式があっても関数とは限りません。この2つの集合では、$y^2 = x$は$1$に$-1$と$1$の両方を対応させ、$-2$、$-1$、$2$には$B$内の出力を与えません。

組の集合が関数かどうかは$A$によって決まります。最初の例の関数から矢印$0 \to 4$を取り除いてみましょう。$0$は$A$に含まれるのに出力がないため、残った対応は$A$から$B$への関数ではありません。しかし同じ矢印も、より小さい集合$\{-2, -1, 1, 2\}$上では関数になります。ただし、入力の集合を小さくして解決するのは、取り除いた入力の問題だけです。$\{-2, -1, 1, 2\}$上でも$y^2 = x$は関数ではありません。$1$にはまだ出力が2つあり、$-2$、$-1$、$2$にはないからです。関数を式だけで与えるとき、通常はその式が意味を持つすべての$x$を定義域とします。計算可能性理論などでは、出力のない入力を許す部分関数も扱います。このページのような$A$から$B$への関数は、どの入力にも出力を与えます。

格子上で入力$x$を通る垂直線は、$x$の出力1つにつき1点と交わります。したがって、組が$A$から$B$への関数であることと、$A$に属する各$x$について$x$を通る垂直線がちょうど1点と交わることは同じです。$A$の外の数を通る直線について調べる必要はありません。矢印と点は同じ組を表すので、このテストは定義をグラフから読み取ったものです。