斐波那契数列

斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …从两个1开始，以后每一项是前两项之和。同一条规则$x_k = x_{k-1} + x_{k-2}$可以从任意两个正数$x_1 = a$、$x_2 = b$开始；从2, 1开始得到卢卡斯数2, 1, 3, 4, 7, 11, …。在这一页，你可以把这样的数列拼成一块块贴到长方形上的正方形，看相邻两项之比$r_k = x_k / x_{k-1}$怎样逼近黄金比φ，再在蛛网图上看它为什么从任何开头都会到那里。

开头是宽a、高b的长方形。每多一项，就在与最新一项等长的边上贴一块正方形：两边为$x_{k-1}$和$x_{k-2}$的长方形，贴上边长$x_{k-1}$的正方形，变成$x_k$乘$x_{k-1}$。所以从第三项起，$r_k$就是长边除以短边，也就是长方形的形状。画面让长方形保持同样大小，看到的是形状怎样定下来，而不是数怎样变大。

贴一块正方形，比值按固定的规则变化：$r_{k+1} = (x_k + x_{k-1})/x_k = 1 + 1/r_k$。贴上正方形后形状不变，需要$r = 1 + 1/r$，即$r^2 = r + 1$，它的正根就是黄金比$\varphi = (1 + \sqrt5)/2 \approx 1.618$。这样的长方形叫黄金长方形：贴一块正方形，得到形状相同、放大到φ倍的长方形。蛛网图画的就是这条规则：从比值r竖直走到曲线$y = 1 + 1/r$，读出下一个比值；再水平走到对角线$y = r$，从那里开始下一步。曲线与对角线交于(φ, φ)。

比值为什么一大一小，为什么从任何正的开头都会到达φ？因为$\varphi = 1 + 1/\varphi$，走一步后与φ的差距恰好是

负号让每个比值都落在φ的另一侧，除非开头恰好是黄金长方形。从$r_3$起每个比值都大于1，所以每一步差距乘的数绝对值小于$1/\varphi \approx 0.618$，差距缩向0。只有第一步可能走远：$r_2 = b/a$小于1/φ时，差距会变大。接近φ时这个倍数趋于$-1/\varphi^2 \approx -0.382$，也就是曲线在与对角线交点处的斜率，所以到后来每一步差距大约缩到原来的0.382倍。

各项本身近似按等比增长：每一项越来越接近前一项的φ倍。对斐波那契数$F_1 = F_2 = 1$，比内公式把这一点写成精确的等式：

因为$|\psi| < 1$，$F_n$就是离$\varphi^n/\sqrt5$最近的整数。在特征向量一页，这两个数是把一对相邻项变成下一对的矩阵的特征值。