Barisan Fibonacci

Barisan Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … dimulai dengan dua angka 1, dan setiap suku berikutnya adalah jumlah dua suku sebelumnya. Aturan yang sama $x_k = x_{k-1} + x_{k-2}$ dapat dimulai dari dua bilangan positif apa pun $x_1 = a$ dan $x_2 = b$; awal 2, 1 menghasilkan bilangan Lucas (2, 1, 3, 4, 7, 11, …). Di sini kamu dapat membangun barisan itu dengan menambahkan persegi pada persegi panjang, mengikuti rasio suku berurutan $r_k = x_k / x_{k-1}$ yang mendekati rasio emas φ, dan melihat lewat diagram sarang laba-laba mengapa hal itu terjadi dari setiap awal positif.

Awalnya adalah persegi panjang dengan lebar a dan tinggi b. Setiap suku baru terbentuk dengan menambahkan persegi pada sisi sepanjang suku terbaru: persegi panjang bersisi $x_{k-1}$ dan $x_{k-2}$ mendapat persegi bersisi $x_{k-1}$, lalu menjadi $x_k$ kali $x_{k-1}$. Jadi, sejak suku ketiga, $r_k$ adalah sisi panjang dibagi sisi pendek: bentuk persegi panjang. Gambar mempertahankan ukuran persegi panjang agar kamu melihat bentuknya mendekati bentuk tetap, bukan sekadar melihat bilangannya membesar.

Sebuah persegi mengubah rasio menurut aturan tetap $r_{k+1} = (x_k + x_{k-1})/x_k = 1 + 1/r_k$. Agar penambahan persegi tidak mengubah bentuk, harus berlaku $r = 1 + 1/r$, yaitu $r^2 = r + 1$, yang akar positifnya adalah rasio emas $\varphi = (1 + \sqrt5)/2 \approx 1.618$. Itulah persegi panjang emas: tambahkan persegi dan bentuknya tetap sama dengan ukuran panjang φ kali lebih besar. Diagram sarang laba-laba menggambar aturan ini. Dari rasio r, naiklah ke kurva $y = 1 + 1/r$ untuk membaca rasio berikutnya, lalu bergerak mendatar ke diagonal $y = r$ untuk memulai langkah berikutnya dari nilai itu. Kurva dan diagonal berpotongan di (φ, φ).

Mengapa rasio berganti sisi dan mengapa ia mendekati limit yang sama dari setiap awal positif? Karena $\varphi = 1 + 1/\varphi$, satu langkah mengubah selisih terhadap φ tepat menurut

Tanda minus menempatkan setiap rasio di sisi lain φ dibanding rasio sebelumnya, kecuali jika awalnya tepat emas. Mulai $r_3$, semua rasio lebih besar dari 1, sehingga setiap langkah mengalikan besar selisih dengan angka kurang dari $1/\varphi \approx 0.618$ dan selisih menyusut menuju 0. Hanya langkah pertama yang dapat menjauh: ketika $r_2 = b/a$ kurang dari 1/φ, selisih membesar. Di dekat φ, faktornya mendekati $-1/\varphi^2 \approx -0.382$, kemiringan kurva di perpotongan dengan diagonal; pada akhirnya setiap langkah menyisakan selisih sekitar 0.382 kali sebelumnya.

Suku-sukunya sendiri tumbuh hampir secara geometris: setiap suku makin mendekati φ kali suku sebelumnya. Untuk bilangan Fibonacci $F_1 = F_2 = 1$, rumus Binet memberikan bentuk tepatnya:

Karena $|\psi| < 1$, $F_n$ adalah bilangan bulat terdekat dengan $\varphi^n/\sqrt5$. Pada halaman vektor eigen, dua bilangan yang sama muncul sebagai nilai eigen matriks yang membawa sepasang suku berurutan ke pasangan berikutnya.