Math

الرياضيات المتقطعة ونظرية الأعداد · متتالية فيبوناتشي

متتالية فيبوناتشي

تبدأ متتالية فيبوناتشي ⁦1, 1, 2, 3, 5, 8, …⁩ باثنين من العدد 1، وكل حد لاحق هو مجموع الحدين السابقين. تقترب نسبة الحدين المتتاليين من النسبة الذهبية ⁦φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618⁩، وكذلك أي متتالية تُبنى بالقاعدة نفسها من عددين موجبين.

متتالية فيبوناتشي في هذا التصوّر

تبدأ متتالية فيبوناتشي ⁦1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …⁩ باثنين من العدد 1، وكل حد لاحق هو مجموع الحدين السابقين. يمكن أن تبدأ القاعدة نفسها xk=xk−1+xk−2x_k = x_{k-1} + x_{k-2} من أي عددين موجبين x1=ax_1 = a وx2=bx_2 = b؛ فالبداية ⁦2, 1⁩ تعطي أعداد لوكاس ⁦(2, 1, 3, 4, 7, 11, …)⁩. يمكنك هنا بناء هذه المتتالية بمربعات تُضاف إلى مستطيل، وتتبع نسبة الحدين المتتاليين rk=xk/xk−1r_k = x_k / x_{k-1} وهي تقترب من النسبة الذهبية ⁦φ⁩، ورؤية سبب وصولها من أي بداية موجبة في مخطط بيت العنكبوت.

البداية مستطيل عرضه ⁦a⁩ وارتفاعه ⁦b⁩. يتولد كل حد جديد بإضافة مربع إلى الضلع الذي يساوي طوله أحدث حد: المستطيل ذو الضلعين xk−1x_{k-1} وxk−2x_{k-2} يكتسب مربعًا طول ضلعه xk−1x_{k-1}، فيصبح مستطيلًا بُعداه xkx_k وxk−1x_{k-1}. لذا، بدءًا من الحد الثالث، تكون rkr_k هي نسبة الضلع الطويل إلى القصير، أي شكل المستطيل. يحافظ الرسم على حجم المستطيل نفسه، فتشاهد استقرار شكله بدلًا من نمو أعداده.

يغيّر المربع النسبة وفق قاعدة ثابتة، rk+1=(xk+xk−1)/xk=1+1/rkr_{k+1} = (x_k + x_{k-1})/x_k = 1 + 1/r_k. ولكي يبقى الشكل كما هو بعد إضافة مربع، يلزم r=1+1/rr = 1 + 1/r، أي r2=r+1r^2 = r + 1، وجذرها الموجب هو النسبة الذهبية φ=(1+5)/2≈1.618\varphi = (1 + \sqrt5)/2 \approx 1.618. هذا هو المستطيل الذهبي: أضف مربعًا لتحصل على الشكل نفسه وقد كبرت أطواله بمعامل ⁦φ⁩. يرسم مخطط بيت العنكبوت هذه القاعدة. من النسبة ⁦r⁩ اصعد إلى المنحنى y=1+1/ry = 1 + 1/r لقراءة النسبة التالية، ثم تحرك أفقيًا إلى القطر y=ry = r لتبدأ الخطوة التالية من تلك القيمة. يتقاطع المنحنى والقطر عند ⁦(φ, φ)⁩.

لماذا تتناوب النسبة، ولماذا تتقارب من كل بداية موجبة؟ بما أن φ=1+1/φ\varphi = 1 + 1/\varphi، فإن خطوة واحدة تغيّر الفرق عن ⁦φ⁩ بدقة وفق

الفرق بعد إضافة مربع آخر
rk+1−φ=−rk−φφ rkr_{k+1} - \varphi = -\frac{r_k - \varphi}{\varphi\, r_k}

تنقل إشارة السالب كل نسبة إلى الجانب الآخر من ⁦φ⁩ مقارنة بالسابقة، إلا إذا كانت البداية ذهبية تمامًا. بدءًا من r3r_3 تتجاوز كل نسبة 1، لذا تضرب كل خطوة مقدار الفرق في عدد أصغر من 1/φ≈0.6181/\varphi \approx 0.618 ويتناقص الفرق نحو 0. وحدها الخطوة الأولى قد تبتعد: إذا كانت r2=b/ar_2 = b/a أصغر من ⁦1/φ⁩، ازداد الفرق. قرب ⁦φ⁩ يقترب المعامل من −1/φ2≈−0.382-1/\varphi^2 \approx -0.382، وهو ميل المنحنى عند تقاطعه مع القطر؛ وفي النهاية تترك كل خطوة فرقًا يساوي نحو ⁦0.382⁩ من سابقه.

أما الحدود نفسها فتنمو نموًا شبه هندسي: يقترب كل منها أكثر فأكثر من الحد السابق مضروبًا في ⁦φ⁩. ولأعداد فيبوناتشي F1=F2=1F_1 = F_2 = 1، تعطي صيغة بينيه تعبيرًا دقيقًا:

صيغة بينيه
Fn=φn−ψn5,ψ=1−52=−1φF_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}, \qquad \psi = \frac{1 - \sqrt5}{2} = -\frac{1}{\varphi}

بما أن ∣ψ∣<1|\psi| < 1، فإن FnF_n هو أقرب عدد صحيح إلى φn/5\varphi^n/\sqrt5. في صفحة المتجهات الذاتية، يظهر العددان نفسهما بوصفهما القيمتين الذاتيتين للمصفوفة التي تنقل زوجًا من الحدود المتتالية إلى الزوج التالي.

أمور تستحق الملاحظة

  • لا تساوي النسبة ⁦φ⁩ إلا إذا كانت النسبة السابقة كذلك، لأن 1+1/r=φ1 + 1/r = \varphi تتحقق بالضبط عندما r=φr = \varphi. لذا إن لم تكن البداية ذهبية، فلن تبلغ النسبة ⁦φ⁩ أبدًا، بل تقترب منها فقط. يختلف كل نسبتين متتاليتين لفيبوناتشي بمقدار 1/(FkFk−1)1/(F_k F_{k-1}) تمامًا.

التحكم

  • اضغط أو اسحب على محور ⁦r⁩ في المخطط لتغيير ⁦b⁩، ومن ثم الشكل الابتدائي r2=b/ar_2 = b/a؛ تنجذب ⁦b⁩ إلى الأعداد الصحيحة.

مواضيع ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Fibonacci sequence (الإنجليزية); OpenStax, College Algebra 2e, 9.1 Sequences and Their Notations (الإنجليزية).