費波那契數列

費波那契數列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …從兩個1開始，以後每一項是前兩項之和。同一規則$x_k = x_{k-1} + x_{k-2}$也能從任意兩個正數$x_1 = a$和$x_2 = b$開始；從2, 1開始就得到盧卡斯數（2, 1, 3, 4, 7, 11, …）。這裡把這樣的數列做成一塊塊貼到長方形上的正方形，追蹤相鄰兩項之比$r_k = x_k / x_{k-1}$如何逼近黃金比例φ，再用蛛網圖看出為何每種正數開頭都能到達同一極限。

開頭是寬a、高b的長方形。每個新項都由一塊貼在與最新一項等長的邊上的正方形產生：邊長為$x_{k-1}$和$x_{k-2}$的長方形，加上邊長$x_{k-1}$的正方形後，變成$x_k$乘$x_{k-1}$。因此從第三項起，$r_k$就是長邊除以短邊，也就是長方形的形狀。畫面把長方形維持在相同大小，讓你看形狀如何穩定，而非數字如何增長。

貼一塊正方形，會按固定規則$r_{k+1} = (x_k + x_{k-1})/x_k = 1 + 1/r_k$改變比值。若貼完形狀不變，就要滿足$r = 1 + 1/r$，也就是$r^2 = r + 1$；它的正根是黃金比例$\varphi = (1 + \sqrt5)/2 \approx 1.618$。這就是黃金長方形：貼一塊正方形，得到相同形狀，邊長放大φ倍。蛛網圖畫出這條規則。從比值r向上到曲線$y = 1 + 1/r$讀出下一個比值，再橫向移到對角線$y = r$，以它開始下一步。曲線與對角線交於(φ, φ)。

比值為何交替偏大、偏小，又為何從任意正數開頭都會逼近同一極限？因為$\varphi = 1 + 1/\varphi$，每走一步，與φ的差距就精確地變為

負號讓每個比值落在前一個比值相對於φ的另一側，除非開頭就精確符合黃金比例。從$r_3$起，每個比值都大於1，所以每一步都把差距的大小乘以一個小於$1/\varphi \approx 0.618$的數，差距便趨近0。只有第一步可能離得更遠：當$r_2 = b/a$小於1/φ，差距會增大。靠近φ時，倍率趨近$-1/\varphi^2 \approx -0.382$，也就是曲線與對角線相交處的斜率；因此最後每一步約把差距縮成原來的0.382倍。

數列各項本身則近似等比增長：每一項越來越接近前一項的φ倍。對費波那契數$F_1 = F_2 = 1$，比內公式給出精確表示：

因為$|\psi| < 1$，$F_n$就是最接近$\varphi^n/\sqrt5$的整數。在特徵向量頁面，同樣的兩個數會作為把一對相鄰項變為下一對的矩陣之特徵值出現。