Suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … commence par deux 1 ; chaque terme suivant est la somme des deux précédents. La même règle $x_k = x_{k-1} + x_{k-2}$ peut partir de deux nombres positifs quelconques $x_1 = a$ et $x_2 = b$ ; le départ 2, 1 donne les nombres de Lucas (2, 1, 3, 4, 7, 11, …). Ici, construisez une telle suite en ajoutant des carrés à un rectangle, suivez le rapport de termes consécutifs $r_k = x_k / x_{k-1}$ lorsqu’il approche le nombre d’or φ et observez, sur un diagramme en toile d’araignée, pourquoi il y parvient depuis tout départ positif.

Au départ, le rectangle a une largeur a et une hauteur b. Chaque nouveau terme s’obtient en ajoutant un carré sur le côté de longueur égale au dernier terme : un rectangle de côtés $x_{k-1}$ et $x_{k-2}$ reçoit un carré de côté $x_{k-1}$ et devient un rectangle de $x_k$ sur $x_{k-1}$. Dès le troisième terme, $r_k$ est donc le grand côté divisé par le petit : la forme du rectangle. L’image garde le rectangle à la même taille pour montrer la stabilisation de sa forme plutôt que la croissance des nombres.

Un carré modifie le rapport selon une règle fixe, $r_{k+1} = (x_k + x_{k-1})/x_k = 1 + 1/r_k$. Pour qu’un carré laisse la forme inchangée, il faut $r = 1 + 1/r$, soit $r^2 = r + 1$, dont la racine positive est le nombre d’or $\varphi = (1 + \sqrt5)/2 \approx 1.618$. C’est le rectangle d’or : ajoutez un carré et retrouvez la même forme, agrandie d’un facteur φ. Le diagramme en toile d’araignée représente cette règle. Depuis un rapport r, montez jusqu’à la courbe $y = 1 + 1/r$ pour lire le rapport suivant, puis allez horizontalement à la diagonale $y = r$ pour repartir de cette valeur. La courbe et la diagonale se coupent en (φ, φ).

Pourquoi le rapport alterne-t-il, et pourquoi converge-t-il depuis tout départ positif ? Comme $\varphi = 1 + 1/\varphi$, une étape transforme exactement l’écart à φ selon

Le signe moins place chaque rapport de l’autre côté de φ par rapport au précédent, sauf si le départ est exactement doré. Dès $r_3$, chaque rapport dépasse 1 : chaque étape multiplie donc la taille de l’écart par moins de $1/\varphi \approx 0.618$, et l’écart tend vers 0. Seule la première étape peut éloigner : lorsque $r_2 = b/a$ est inférieur à 1/φ, l’écart augmente. Près de φ, le facteur tend vers $-1/\varphi^2 \approx -0.382$, la pente de la courbe à son intersection avec la diagonale ; à terme, chaque étape laisse un écart environ 0.382 fois aussi grand.

Les termes eux-mêmes croissent presque géométriquement : chacun se rapproche toujours plus de φ fois le précédent. Pour les nombres de Fibonacci $F_1 = F_2 = 1$, la formule de Binet donne une expression exacte :

Puisque $|\psi| < 1$, $F_n$ est l’entier le plus proche de $\varphi^n/\sqrt5$. Sur la page des vecteurs propres, ces deux mêmes nombres sont les valeurs propres de la matrice qui fait passer d’une paire de termes consécutifs à la suivante.