Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … beginnt mit zwei Einsen; jedes weitere Glied ist die Summe der beiden vorherigen. Dieselbe Regel $x_k = x_{k-1} + x_{k-2}$ kann mit beliebigen positiven Zahlen $x_1 = a$ und $x_2 = b$ beginnen; aus 2, 1 entstehen die Lucas-Zahlen (2, 1, 3, 4, 7, 11, …). Hier kannst du eine solche Folge aus Quadraten aufbauen, die an ein Rechteck angelegt werden, verfolgen, wie sich das Verhältnis benachbarter Glieder $r_k = x_k / x_{k-1}$ dem goldenen Schnitt φ nähert, und im Spinnwebdiagramm sehen, warum das von jedem solchen Anfang aus gelingt.

Am Anfang steht ein Rechteck der Breite a und Höhe b. Jedes neue Glied entsteht durch ein Quadrat an der Seite, die so lang ist wie das neueste Glied: Ein Rechteck mit Seiten $x_{k-1}$ und $x_{k-2}$ erhält ein Quadrat mit Seitenlänge $x_{k-1}$ und wird zu einem Rechteck von $x_k$ mal $x_{k-1}$. Ab dem dritten Glied ist $r_k$ also die lange Seite geteilt durch die kurze: die Form des Rechtecks. Die Darstellung hält das Rechteck gleich groß, damit du siehst, wie sich seine Form stabilisiert, statt wie die Zahlen wachsen.

Ein Quadrat ändert das Verhältnis nach der festen Regel $r_{k+1} = (x_k + x_{k-1})/x_k = 1 + 1/r_k$. Eine Form, die beim Anlegen eines Quadrats unverändert bleibt, muss $r = 1 + 1/r$ erfüllen, also $r^2 = r + 1$. Die positive Lösung ist der goldene Schnitt $\varphi = (1 + \sqrt5)/2 \approx 1.618$. Das ist das goldene Rechteck: Ein zusätzliches Quadrat liefert dieselbe Form, um den Faktor φ vergrößert. Das Spinnwebdiagramm zeichnet diese Regel. Gehe vom Verhältnis r senkrecht zur Kurve $y = 1 + 1/r$, um das nächste Verhältnis abzulesen, dann waagerecht zur Diagonalen $y = r$, um von dort den nächsten Schritt zu beginnen. Kurve und Diagonale schneiden sich in (φ, φ).

Warum wechselt das Verhältnis die Seite, und warum gelangt es von jedem positiven Anfang ans Ziel? Wegen $\varphi = 1 + 1/\varphi$ verändert ein Schritt die Abweichung von φ genau nach

Das Minuszeichen bringt jedes Verhältnis auf die andere Seite von φ als das vorherige, außer bei einem genau goldenen Anfang. Ab $r_3$ ist jedes Verhältnis größer als 1; jeder Schritt multipliziert daher den Betrag der Abweichung mit weniger als $1/\varphi \approx 0.618$, und er schrumpft gegen 0. Nur der erste Schritt kann wegführen: Liegt $r_2 = b/a$ unter 1/φ, wächst die Abweichung. Nahe φ nähert sich der Faktor $-1/\varphi^2 \approx -0.382$, der Steigung der Kurve am Schnittpunkt mit der Diagonalen. Schließlich bleibt pro Schritt also etwa das 0.382-Fache der Abweichung übrig.

Die Glieder selbst wachsen nahezu geometrisch: Jedes nähert sich immer mehr dem φ-Fachen des vorherigen. Für die Fibonacci-Zahlen $F_1 = F_2 = 1$ beschreibt die Formel von Binet dies exakt:

Da $|\psi| < 1$ gilt, ist $F_n$ die ganze Zahl, die $\varphi^n/\sqrt5$ am nächsten liegt. Auf der Eigenvektor-Seite erscheinen dieselben beiden Zahlen als Eigenwerte der Matrix, die ein Paar benachbarter Glieder in das nächste überführt.