フィボナッチ数列

フィボナッチ数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …は2つの1で始まり、それ以降の各項は直前の2項の和です。同じ規則$x_k = x_{k-1} + x_{k-2}$は任意の2つの正の数$x_1 = a$と$x_2 = b$からも始められ、2, 1からならリュカ数（2, 1, 3, 4, 7, 11, …）になります。ここでは長方形へ正方形を加えて数列を作り、隣り合う項の比$r_k = x_k / x_{k-1}$が黄金比φへ近づく様子を追い、どの正の初期値からでも近づく理由をクモの巣図で見られます。

初めは幅a、高さbの長方形です。最新の項と同じ長さの辺に正方形を付け足すと、新しい項が得られます。辺長$x_{k-1}$と$x_{k-2}$の長方形に辺長$x_{k-1}$の正方形を加えると、$x_k$と$x_{k-1}$を辺長とする長方形になります。したがって第3項以降の$r_k$は長辺を短辺で割った値、つまり長方形の形を表します。画面では長方形の大きさを一定に保ち、数の増大ではなく形が落ち着く様子を見せます。

正方形を加えると、比は一定の規則$r_{k+1} = (x_k + x_{k-1})/x_k = 1 + 1/r_k$で変化します。加えても形が変わらないためには$r = 1 + 1/r$、すなわち$r^2 = r + 1$が必要で、その正の解が黄金比$\varphi = (1 + \sqrt5)/2 \approx 1.618$です。これが黄金長方形です。正方形を加えると、同じ形で辺長がφ倍になります。クモの巣図はこの規則を描きます。比rから上へ進んで曲線$y = 1 + 1/r$で次の比を読み、横へ進んで対角線$y = r$に移り、そこから次のステップを始めます。曲線と対角線は(φ, φ)で交わります。

比はなぜ交互に大小を変え、どの正の初期値からも同じ極限に近づくのでしょうか。$\varphi = 1 + 1/\varphi$なので、1ステップでφとの差は正確に次のように変わります。

初めから正確に黄金比である場合を除き、負号によって各比は前の比とはφの反対側に移ります。$r_3$以降の比はすべて1より大きいため、差の大きさは毎回$1/\varphi \approx 0.618$未満の倍率で縮み、0へ近づきます。遠ざかる可能性があるのは最初の1歩だけです。$r_2 = b/a$が1/φより小さいと差は増えます。φの近くでは倍率が$-1/\varphi^2 \approx -0.382$に近づきます。これは曲線と対角線の交点での傾きで、やがて毎回の差は前の約0.382倍になります。

項自体はほぼ等比的に増加し、前の項のφ倍にますます近づきます。フィボナッチ数$F_1 = F_2 = 1$では、ビネの公式で正確に表せます。

$|\psi| < 1$なので、$F_n$は$\varphi^n/\sqrt5$に最も近い整数です。固有ベクトルのページでは、この同じ2つの数が、隣り合う項の組を次の組に移す行列の固有値として現れます。