Successione di Fibonacci

La successione di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … comincia con due 1, e ogni termine successivo è la somma dei due precedenti. La stessa regola $x_k = x_{k-1} + x_{k-2}$ può partire da due numeri positivi qualsiasi $x_1 = a$ e $x_2 = b$; partendo da 2, 1 si ottengono i numeri di Lucas (2, 1, 3, 4, 7, 11, …). Qui puoi costruire una tale successione aggiungendo quadrati a un rettangolo, seguire il rapporto tra termini consecutivi $r_k = x_k / x_{k-1}$ mentre si avvicina al rapporto aureo φ e vedere nel diagramma a ragnatela perché vi arriva da ogni inizio positivo.

All’inizio c’è un rettangolo largo a e alto b. Ogni nuovo termine si ottiene aggiungendo un quadrato al lato lungo quanto il termine più recente: un rettangolo con lati $x_{k-1}$ e $x_{k-2}$ riceve un quadrato di lato $x_{k-1}$ e diventa un rettangolo di $x_k$ per $x_{k-1}$. Dal terzo termine, $r_k$ è dunque il lato lungo diviso per quello corto: la forma del rettangolo. L’immagine mantiene il rettangolo della stessa grandezza, per mostrare come si stabilizza la forma anziché come crescono i numeri.

Un quadrato modifica il rapporto secondo la regola fissa $r_{k+1} = (x_k + x_{k-1})/x_k = 1 + 1/r_k$. Una forma che rimane invariata aggiungendo un quadrato deve soddisfare $r = 1 + 1/r$, cioè $r^2 = r + 1$, la cui radice positiva è il rapporto aureo $\varphi = (1 + \sqrt5)/2 \approx 1.618$. È il rettangolo aureo: aggiungi un quadrato e ottieni la stessa forma, ingrandita di un fattore φ. Il diagramma a ragnatela traccia la regola. Da un rapporto r, sali fino alla curva $y = 1 + 1/r$ per leggere il rapporto successivo, poi vai in orizzontale fino alla diagonale $y = r$ per iniziare da lì il passo seguente. Curva e diagonale si incontrano in (φ, φ).

Perché il rapporto alterna i lati e perché converge da ogni inizio positivo? Poiché $\varphi = 1 + 1/\varphi$, un passo trasforma esattamente lo scarto da φ secondo

Il segno meno porta ogni rapporto dal lato opposto di φ rispetto al precedente, salvo che l’inizio sia esattamente aureo. Da $r_3$ in poi ogni rapporto supera 1, quindi ogni passo moltiplica l’ampiezza dello scarto per meno di $1/\varphi \approx 0.618$ e lo scarto tende a 0. Solo il primo passo può allontanare: quando $r_2 = b/a$ è minore di 1/φ, lo scarto cresce. Vicino a φ il fattore tende a $-1/\varphi^2 \approx -0.382$, la pendenza della curva all’incrocio con la diagonale; alla fine ogni passo lascia uno scarto circa 0.382 volte quello precedente.

I termini stessi crescono quasi geometricamente: ciascuno si avvicina sempre più a φ volte il precedente. Per i numeri di Fibonacci $F_1 = F_2 = 1$, la formula di Binet dà un’espressione esatta:

Poiché $|\psi| < 1$, $F_n$ è l’intero più vicino a $\varphi^n/\sqrt5$. Nella pagina degli autovettori, gli stessi due numeri compaiono come autovalori della matrice che porta una coppia di termini consecutivi alla successiva.