피보나치 수열

피보나치 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …은 두 개의 1로 시작하며, 이후 각 항은 바로 앞 두 항의 합입니다. 같은 규칙 $x_k = x_{k-1} + x_{k-2}$는 임의의 두 양수 $x_1 = a$와 $x_2 = b$에서도 시작할 수 있습니다. 2, 1로 시작하면 뤼카 수(2, 1, 3, 4, 7, 11, …)가 됩니다. 여기서는 직사각형에 정사각형을 붙여 이런 수열을 만들고, 이웃한 항의 비 $r_k = x_k / x_{k-1}$가 황금비 φ에 가까워지는 모습을 따라가며, 어느 양수 시작값에서든 그렇게 되는 이유를 거미줄 도표에서 볼 수 있습니다.

처음에는 너비 a, 높이 b인 직사각형입니다. 가장 최근 항의 길이와 같은 변에 정사각형을 붙이면 새 항이 생깁니다. 변 길이가 $x_{k-1}$와 $x_{k-2}$인 직사각형에 변 길이 $x_{k-1}$인 정사각형을 붙이면 $x_k$와 $x_{k-1}$를 변으로 하는 직사각형이 됩니다. 따라서 세 번째 항부터 $r_k$는 긴 변을 짧은 변으로 나눈 값, 즉 직사각형의 모양을 나타냅니다. 그림에서는 직사각형의 크기를 일정하게 유지하여 수의 증가보다 모양이 안정되는 모습을 보여 줍니다.

정사각형을 붙이면 일정한 규칙 $r_{k+1} = (x_k + x_{k-1})/x_k = 1 + 1/r_k$에 따라 비가 바뀝니다. 정사각형을 붙여도 모양이 같으려면 $r = 1 + 1/r$, 즉 $r^2 = r + 1$여야 하며, 이 식의 양의 해가 황금비 $\varphi = (1 + \sqrt5)/2 \approx 1.618$입니다. 이것이 황금 직사각형입니다. 정사각형을 붙이면 같은 모양이면서 변 길이가 φ배가 됩니다. 거미줄 도표는 이 규칙을 그립니다. 비 r에서 위로 올라가 곡선 $y = 1 + 1/r$에서 다음 비를 읽고, 가로로 이동해 대각선 $y = r$에 도달한 뒤 그 값에서 다음 단계를 시작합니다. 곡선과 대각선은 (φ, φ)에서 만납니다.

비는 왜 번갈아 커졌다 작아지며, 모든 양수 시작값에서 같은 극한으로 갈까요? $\varphi = 1 + 1/\varphi$이므로 한 단계가 φ와의 차이를 정확히 다음과 같이 바꿉니다.

처음부터 정확한 황금비가 아니라면 음수 부호 때문에 각 비는 이전 비와 φ의 반대편에 놓입니다. $r_3$부터 모든 비가 1보다 크므로, 매 단계 차이의 크기에 $1/\varphi \approx 0.618$보다 작은 수를 곱하게 되어 차이가 0으로 줄어듭니다. 멀어질 수 있는 것은 첫 단계뿐입니다. $r_2 = b/a$가 1/φ보다 작으면 차이가 커집니다. φ 근처에서는 곱하는 값이 $-1/\varphi^2 \approx -0.382$에 가까워집니다. 이는 곡선과 대각선의 교점에서의 기울기이므로, 결국 매 단계 차이는 이전의 약 0.382배가 됩니다.

항 자체는 거의 등비적으로 증가하며, 각 항은 이전 항의 φ배에 점점 더 가까워집니다. 피보나치 수 $F_1 = F_2 = 1$에 대해서는 비네 공식이 정확한 식을 줍니다.

$|\psi| < 1$이므로 $F_n$는 $\varphi^n/\sqrt5$에 가장 가까운 정수입니다. 고유벡터 페이지에서는 같은 두 수가 이웃한 항의 쌍을 다음 쌍으로 옮기는 행렬의 고유값으로 나타납니다.