Sucessão de Fibonacci

A sucessão de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … começa com dois uns, e cada termo seguinte é a soma dos dois anteriores. A mesma regra $x_k = x_{k-1} + x_{k-2}$ pode começar em quaisquer dois números positivos $x_1 = a$ e $x_2 = b$; a partir de 2, 1 dá os números de Lucas (2, 1, 3, 4, 7, 11, …). Aqui podes construir uma sucessão assim com quadrados acrescentados a um retângulo, seguir a razão entre termos consecutivos $r_k = x_k / x_{k-1}$ enquanto se aproxima do número de ouro φ e ver, num diagrama de teia de aranha, por que lá chega a partir de qualquer início positivo.

O início é um retângulo de largura a e altura b. Cada novo termo obtém-se encostando um quadrado ao lado cujo comprimento é o termo mais recente: um retângulo com lados $x_{k-1}$ e $x_{k-2}$ recebe um quadrado de lado $x_{k-1}$ e passa a medir $x_k$ por $x_{k-1}$. Assim, a partir do terceiro termo, $r_k$ é o lado maior dividido pelo menor: a forma do retângulo. A imagem mantém o retângulo com o mesmo tamanho, para veres a forma estabilizar em vez de os números crescerem.

Um quadrado altera a razão segundo a regra fixa $r_{k+1} = (x_k + x_{k-1})/x_k = 1 + 1/r_k$. Uma forma que não muda ao acrescentar um quadrado tem de satisfazer $r = 1 + 1/r$, ou seja, $r^2 = r + 1$, cuja raiz positiva é o número de ouro $\varphi = (1 + \sqrt5)/2 \approx 1.618$. É o retângulo de ouro: acrescenta um quadrado e obténs a mesma forma, ampliada por um fator φ. O diagrama de teia de aranha desenha a regra. A partir de uma razão r, sobe até à curva $y = 1 + 1/r$ para ler a razão seguinte e segue na horizontal até à diagonal $y = r$ para começar aí o próximo passo. A curva e a diagonal cruzam-se em (φ, φ).

Por que alterna a razão e por que converge a partir de qualquer início positivo? Como $\varphi = 1 + 1/\varphi$, um passo transforma exatamente o desvio em relação a φ segundo

O sinal menos coloca cada razão do outro lado de φ em relação à anterior, exceto se o início for exatamente áureo. A partir de $r_3$, todas as razões excedem 1, pelo que cada passo multiplica a magnitude do desvio por menos de $1/\varphi \approx 0.618$, fazendo-o tender para 0. Só o primeiro passo pode afastar: quando $r_2 = b/a$ é inferior a 1/φ, o desvio aumenta. Perto de φ, o fator aproxima-se de $-1/\varphi^2 \approx -0.382$, o declive da curva onde cruza a diagonal; no fim, cada passo deixa um desvio cerca de 0.382 vezes o anterior.

Os próprios termos crescem quase geometricamente: cada um aproxima-se cada vez mais de φ vezes o anterior. Para os números de Fibonacci $F_1 = F_2 = 1$, a fórmula de Binet dá uma expressão exata:

Como $|\psi| < 1$, $F_n$ é o inteiro mais próximo de $\varphi^n/\sqrt5$. Na página dos vetores próprios, estes mesmos dois números aparecem como valores próprios da matriz que leva um par de termos consecutivos ao seguinte.