Fibonacci dizisi

Fibonacci dizisi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … iki tane 1 ile başlar; sonraki her terim önceki iki terimin toplamıdır. Aynı $x_k = x_{k-1} + x_{k-2}$ kuralı herhangi iki pozitif sayı $x_1 = a$ ve $x_2 = b$ ile başlayabilir; 2, 1 ile başlarsa Lucas sayılarını verir (2, 1, 3, 4, 7, 11, …). Burada dikdörtgene kareler ekleyerek böyle bir dizi kurabilir, ardışık terimlerin oranı $r_k = x_k / x_{k-1}$ altın oran φ değerine yaklaşırken onu izleyebilir ve her pozitif başlangıçtan neden oraya ulaştığını örümcek ağı diyagramında görebilirsiniz.

Başlangıçta genişliği a, yüksekliği b olan bir dikdörtgen vardır. Her yeni terim, en son terim kadar uzun olan kenara bir kare eklenerek elde edilir: kenarları $x_{k-1}$ ve $x_{k-2}$ olan dikdörtgene kenarı $x_{k-1}$ olan bir kare eklenir; yeni dikdörtgenin kenarları $x_k$ ve $x_{k-1}$ olur. Böylece üçüncü terimden itibaren $r_k$, uzun kenarın kısa kenara oranıdır: dikdörtgenin şekli. Görsel dikdörtgeni aynı boyutta tutar; sayıların büyümesinden çok şeklin yerleşmesini izlersiniz.

Bir kare oranı sabit $r_{k+1} = (x_k + x_{k-1})/x_k = 1 + 1/r_k$ kuralına göre değiştirir. Kare eklenince değişmeyen bir şekil için $r = 1 + 1/r$, yani $r^2 = r + 1$ gerekir; bunun pozitif kökü altın oran $\varphi = (1 + \sqrt5)/2 \approx 1.618$ değeridir. Altın dikdörtgen budur: bir kare ekleyince aynı şekil, kenarları φ kat büyümüş olarak elde edilir. Örümcek ağı diyagramı bu kuralı çizer. r oranından $y = 1 + 1/r$ eğrisine doğru dikey ilerleyerek sonraki oranı okuyun; ardından yatay olarak $y = r$ köşegenine geçip sonraki adıma bu değerden başlayın. Eğri ve köşegen (φ, φ) noktasında kesişir.

Oran neden taraf değiştirir ve her pozitif başlangıçtan neden aynı limite ulaşır? $\varphi = 1 + 1/\varphi$ olduğundan, bir adım φ değerine olan farkı tam olarak şöyle değiştirir:

Başlangıç tam olarak altın değilse eksi işareti her oranı, öncekine göre φ değerinin diğer tarafına geçirir. $r_3$ ve sonrasında tüm oranlar 1’in üstündedir; bu yüzden her adım farkın büyüklüğünü $1/\varphi \approx 0.618$ değerinden küçük bir sayıyla çarpar ve fark 0’a yaklaşır. Yalnızca ilk adım uzaklaştırabilir: $r_2 = b/a$, 1/φ değerinden küçükse fark büyür. φ yakınında çarpan, eğrinin köşegeni kestiği yerdeki eğimi olan $-1/\varphi^2 \approx -0.382$ değerine yaklaşır; sonunda her adım farkı yaklaşık 0.382 katına indirir.

Terimlerin kendileri neredeyse geometrik biçimde büyür: her biri öncekinin φ katına giderek yaklaşır. Fibonacci sayıları $F_1 = F_2 = 1$ için Binet formülü bunu tam olarak ifade eder:

$|\psi| < 1$ olduğundan, $F_n$, $\varphi^n/\sqrt5$ değerine en yakın tam sayıdır. Özvektör sayfasında bu aynı iki sayı, ardışık bir terim çiftini sonraki çifte götüren matrisin özdeğerleri olarak görülür.