Sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … empieza con dos unos, y cada término posterior es la suma de los dos anteriores. La misma regla $x_k = x_{k-1} + x_{k-2}$ puede partir de dos números positivos cualesquiera, $x_1 = a$ y $x_2 = b$; desde 2, 1 da los números de Lucas (2, 1, 3, 4, 7, 11, …). Aquí puedes construir una sucesión así añadiendo cuadrados a un rectángulo, seguir la razón entre términos consecutivos $r_k = x_k / x_{k-1}$ al acercarse al número áureo φ y ver en un diagrama de telaraña por qué llega a él desde cualquier inicio positivo.

El inicio es un rectángulo de ancho a y alto b. Cada término nuevo se obtiene añadiendo un cuadrado al lado cuya longitud es el término más reciente: un rectángulo de lados $x_{k-1}$ y $x_{k-2}$ recibe un cuadrado de lado $x_{k-1}$ y pasa a medir $x_k$ por $x_{k-1}$. Desde el tercer término, $r_k$ es el lado largo dividido por el corto: la forma del rectángulo. La imagen mantiene su tamaño para que observes cómo se estabiliza la forma en vez de cómo crecen los números.

Un cuadrado cambia la razón según la regla fija $r_{k+1} = (x_k + x_{k-1})/x_k = 1 + 1/r_k$. Para que añadir un cuadrado no cambie la forma, debe cumplirse $r = 1 + 1/r$, es decir, $r^2 = r + 1$, cuya raíz positiva es el número áureo $\varphi = (1 + \sqrt5)/2 \approx 1.618$. Ese es el rectángulo áureo: añades un cuadrado y obtienes la misma forma, ampliada por un factor φ. El diagrama de telaraña dibuja la regla. Desde una razón r, sube hasta la curva $y = 1 + 1/r$ para leer la siguiente razón y luego ve horizontalmente hasta la diagonal $y = r$ para empezar allí el siguiente paso. La curva y la diagonal se cruzan en (φ, φ).

¿Por qué alterna la razón y por qué converge desde cualquier inicio positivo? Como $\varphi = 1 + 1/\varphi$, cada paso transforma exactamente la diferencia respecto a φ según

El signo menos sitúa cada razón al otro lado de φ respecto a la anterior, salvo que el inicio sea exactamente áureo. Desde $r_3$, toda razón supera 1, así que cada paso multiplica la magnitud de la diferencia por menos de $1/\varphi \approx 0.618$ y esta tiende a 0. Solo el primer paso puede alejarse: si $r_2 = b/a$ es menor que 1/φ, la diferencia crece. Cerca de φ, el factor tiende a $-1/\varphi^2 \approx -0.382$, la pendiente de la curva donde cruza la diagonal; al final, cada paso deja una diferencia aproximadamente 0.382 veces la anterior.

Los términos crecen de forma casi geométrica: cada uno se aproxima cada vez más a φ veces el anterior. Para los números de Fibonacci $F_1 = F_2 = 1$, la fórmula de Binet da una expresión exacta:

Como $|\psi| < 1$, $F_n$ es el entero más cercano a $\varphi^n/\sqrt5$. En la página de vectores propios, estos mismos dos números son los valores propios de la matriz que lleva una pareja de términos consecutivos a la siguiente.