多项式的复数根

多项式的根，就是让它等于0的x。$y = p(x)$的图像只有实数x，所以只看得到实根，也就是曲线碰到x轴的地方。本页给多项式加上常数c，解$p(x) + c = 0$。c变大，曲线往上抬；一旦整个离开x轴，实根好像就没了。其实它们还在，只是变成了复数$a + bi$。主图在复平面上画出全部的根：实根在实轴上，其余的在实轴上方或下方。下面的图像和主图共用同一套竖列，曲线上的实根正好在复平面里那个点的正下方。

以$x^2 - 2x + c$为例，它的根是$1 \pm \sqrt{1 - c}$。c升到1，两个实根滑到一起，在x = 1相遇，曲线在那里刚好碰到x轴：$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$，是二重根。c过了1，根号里成了负数，根变成$1 \pm i\sqrt{c - 1}$，垂直离开实轴，一个向上、一个向下；从此顶点的高度c − 1正是虚部的平方，顶点的横坐标就是它们的实部。曲线在局部最低点碰到x轴时，两个实根都这样相遇，再抬高c就成对离开；在局部最高点（比如三次函数c = −2处），要降低c才会这样。和顶点的这层关系却是二次函数的性质，一般推广不了：三次函数在c = 3时，那对根的实部是1.052，旁边曲线的最低点却在x = 1。

本页的系数都是实数。对$p(z) + c = 0$两边取共轭，得到$p(\bar z) + c = 0$，所以z是根，$\bar z$也是根：非实根成对出现，关于实轴对称，图上用虚线连起来。代数基本定理说，n次多项式恰有n个复数根，按重数计：二重根算两个，x³在c = 0时的三重根算三个。红键可以验证：三次函数从c = −4抬到4，实根是1个、3个、又1个，记录的每一行加起来却都是3。非实根两个两个地出现，所以奇数次多项式至少留下一个实根。

把$(x - z_1)\cdots(x - z_n)$乘开，$x^{n-1}$的系数是$-(z_1 + \dots + z_n)$。c只改常数项，所以根之和始终不变。$x^3 - 3x$的根之和在任何c下都是0：实根往左走，那对共轭根就往右走；c = 3时，−2.104 + 2 × 1.052 = 0。打开“根之和”，菱形标出根的平均点，不管怎么跑它都不动。