الجذور العقدية لكثيرات الحدود

جذر كثيرة الحدود هو عدد x يجعل قيمتها 0. لا يتضمن منحنى $y = p(x)$ إلا قيم x الحقيقية، لذا لا يُظهر إلا الجذور الحقيقية، حيث يلتقي المنحنى محور x. تضيف هذه الصفحة ثابتًا c وتحل $p(x) + c = 0$. زيادة c ترفع المنحنى، وعندما يصبح فوق المحور تبدو الجذور الحقيقية كأنها اختفت. لكنها لا تزال موجودة كأعداد عقدية $a + bi$. يرسم المشهد الرئيسي كل جذر في المستوى العقدي: الحقيقية على المحور الحقيقي، والبقية فوقه أو تحته. والمنحنى أسفله محاذٍ له أفقيًا، لذلك يقع الجذر الحقيقي على المنحنى تحت نقطته في المستوى مباشرة.

خذ $x^2 - 2x + c$، وجذورها $1 \pm \sqrt{1 - c}$. عندما ترتفع c إلى 1، ينزلق الجذران الحقيقيان نحو بعضهما ويلتقيان عند ⁦x = 1⁩، حيث يمس المنحنى المحور: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$، جذر مزدوج. بعد ⁦c = 1⁩ يصبح العدد تحت الجذر التربيعي سالبًا، ويصبح الجذران $1 \pm i\sqrt{c - 1}$. يغادران المستقيم الحقيقي بزاوية قائمة، أحدهما إلى أعلى والآخر إلى أسفل؛ ومن تلك اللحظة يكون ارتفاع الرأس، ⁦c − 1⁩، مربع جزئهما التخيلي، ويكون إحداثي x للرأس جزأهما الحقيقي. يلتقي جذران حقيقيان بهذه الطريقة كلما مس المنحنى المحور عند نقطة دنيا، وتحوّلهما زيادة c إلى زوج عقدي؛ وعند نقطة عظمى، مثل نقطة المنحنى التكعيبي عند ⁦c = −2⁩، يحدث ذلك بخفض c. لكن العلاقة بالرأس خاصة بكثيرات الحدود التربيعية ولا تعمّ غيرها: في المنحنى التكعيبي عند ⁦c = 3⁩، الجزء الحقيقي للزوج هو 1.052، بينما تقع النقطة الدنيا المجاورة عند ⁦x = 1⁩.

المعاملات هنا حقيقية. بأخذ المرافق العقدي لـ$p(z) + c = 0$ نحصل على $p(\bar z) + c = 0$، فإذا كان z جذرًا كان $\bar z$ جذرًا أيضًا: تأتي الجذور غير الحقيقية في أزواج متناظرة حول المحور الحقيقي، يصل بينها خط متقطع في الرسم. تقول المبرهنة الأساسية في الجبر إن لكثيرة الحدود من الدرجة n عددًا يساوي n تمامًا من الجذور العقدية، مع حساب كل جذر بعدد مرات تكراره: الجذر المزدوج مرتين، والجذر الثلاثي لـ⁦x³⁩ عند ⁦c = 0⁩ ثلاث مرات. يتحقق الزر الأحمر من ذلك. عندما يرتفع المنحنى التكعيبي من ⁦c = −4⁩ إلى 4، تتغير أعداد جذوره الحقيقية إلى 1 ثم 3 ثم 1، ومع ذلك يظل مجموع كل صف في السجل 3. ولأن الأزواج تأتي اثنين اثنين، تحتفظ الدرجة الفردية دائمًا بجذر حقيقي واحد على الأقل.

عند نشر $(x - z_1)\cdots(x - z_n)$، يكون معامل $x^{n-1}$ هو $-(z_1 + \dots + z_n)$. تغيير c يغيّر الحد الثابت فقط، فلا يتغير مجموع الجذور أبدًا. في $x^3 - 3x$ يساوي المجموع 0 عند كل c: عندما يتحرك الجذر الحقيقي إلى اليسار يتحرك الزوج إلى اليمين، وعند ⁦c = 3⁩ يكون ⁦−2.104 + 2 × 1.052 = 0⁩. عند تفعيل «مجموع الجذور» تحدد علامة على شكل مُعيَّن متوسط الجذور، وتبقى ثابتة طوال أي تشغيل.