다항식의 복소근

다항식의 근은 그 값을 0으로 만드는 수 x입니다. $y = p(x)$의 그래프에는 실수 x만 있으므로, 곡선이 x축과 만나는 실근만 보입니다. 이 페이지는 상수 c를 더하고 $p(x) + c = 0$을 풉니다. c가 커지면 그래프가 올라가고, 축 위로 완전히 올라가면 실근이 사라진 것처럼 보입니다. 그러나 복소수 $a + bi$로 여전히 존재합니다. 주 화면은 복소평면에 모든 근을 그립니다. 실근은 실수축 위에, 나머지는 축 위쪽이나 아래쪽에 있습니다. 아래 그래프는 가로 위치를 맞춰 놓았으므로, 곡선의 실근은 평면의 해당 점 바로 아래에 있습니다.

근이 $1 \pm \sqrt{1 - c}$인 $x^2 - 2x + c$을 보세요. c가 1까지 올라가면 두 실근이 가까워져 x = 1에서 만나고, 그래프는 축에 딱 닿습니다. $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$, 이중근입니다. c = 1을 지나면 제곱근 안의 수가 음수가 되어 근은 $1 \pm i\sqrt{c - 1}$이 됩니다. 두 근은 하나는 위로, 하나는 아래로 실수직선을 직각으로 떠납니다. 이후 꼭짓점 높이 c − 1은 허수부의 제곱이고, 꼭짓점의 x좌표는 실수부입니다. 그래프가 극소점에서 축에 닿을 때마다 두 실근은 이렇게 만나며, c를 올리면 복소수 쌍이 됩니다. c = −2일 때 삼차식의 극대점처럼 높은 점에서는 c를 내릴 때 같은 일이 일어납니다. 다만 꼭짓점과의 관계는 이차식의 성질로, 일반적으로 성립하지는 않습니다. c = 3인 삼차식에서 켤레쌍의 실수부는 1.052이지만, 그래프의 이웃한 극소점은 x = 1에 있습니다.

여기서 계수는 실수입니다. $p(z) + c = 0$의 켤레복소수를 취하면 $p(\bar z) + c = 0$이므로, z가 근이면 $\bar z$도 근입니다. 따라서 실수가 아닌 근은 실수축에 대칭인 쌍으로 나타나며, 그림에서는 점선으로 연결됩니다. 대수학의 기본 정리에 따르면 n차 다항식에는 중복되는 횟수만큼 세어 정확히 n개의 복소근이 있습니다. 이중근은 두 번, c = 0에서 x³의 삼중근은 세 번 셉니다. 빨간 버튼으로 이를 확인합니다. 삼차식이 c = −4에서 4까지 올라가면 실근 개수는 1, 3, 1로 바뀌지만, 기록의 각 행을 더하면 3입니다. 켤레쌍은 두 개씩 생기므로 차수가 홀수이면 언제나 적어도 하나의 실근이 남습니다.

$(x - z_1)\cdots(x - z_n)$을 전개하면 $x^{n-1}$의 계수는 $-(z_1 + \dots + z_n)$입니다. c를 움직여도 상수항만 바뀌므로 근의 합은 움직이지 않습니다. $x^3 - 3x$에서는 모든 c에 대해 0입니다. 실근이 왼쪽으로 가면 켤레쌍은 오른쪽으로 가고, c = 3에서는 −2.104 + 2 × 1.052 = 0입니다. ‘근의 합’을 켜면 마름모가 근의 평균을 표시하며, 어떤 실행에서도 제자리를 지킵니다.