Raíces complejas de polinomios

Una raíz de un polinomio es un número x que hace que valga 0. La gráfica de $y = p(x)$ solo admite x reales, por lo que solo muestra las raíces reales, donde la curva corta el eje x. Esta página suma una constante c y resuelve $p(x) + c = 0$. Al aumentar c, la gráfica sube; cuando queda por encima del eje, parece que las raíces reales han desaparecido. Siguen ahí como números complejos $a + bi$. La vista principal dibuja todas las raíces en el plano complejo: las reales en el eje real, y las demás por encima o por debajo. La gráfica inferior comparte la alineación horizontal, de modo que una raíz real de la curva está justo debajo de su punto en el plano.

Toma $x^2 - 2x + c$, cuyas raíces son $1 \pm \sqrt{1 - c}$. Al subir c hasta 1, las dos raíces reales se acercan y se encuentran en x = 1, donde la gráfica apenas toca el eje: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$, una raíz doble. Pasado c = 1, el número bajo la raíz cuadrada es negativo y las raíces pasan a ser $1 \pm i\sqrt{c - 1}$. Abandonan la recta real en ángulo recto, una hacia arriba y otra hacia abajo; a partir de ahí, la altura del vértice, c − 1, es el cuadrado de su parte imaginaria, y su x es la parte real. Dos raíces reales se encuentran así siempre que la gráfica toca el eje en un mínimo, y subir c las convierte en un par complejo; en un máximo, como el de la cúbica con c = −2, eso ocurre al bajar c. Sin embargo, la relación con el vértice es propia de las cuadráticas y no se generaliza: en la cúbica con c = 3, el par tiene parte real 1.052, mientras que el mínimo cercano de la gráfica está en x = 1.

Aquí los coeficientes son reales. Al tomar el conjugado complejo de $p(z) + c = 0$ se obtiene $p(\bar z) + c = 0$, así que, si z es una raíz, también lo es $\bar z$: las raíces no reales vienen en pares, reflejados respecto al eje real y unidos en el dibujo por una línea discontinua. El teorema fundamental del álgebra afirma que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces complejas, contando cada una tantas veces como se repite: una raíz doble dos veces; la raíz triple de x³ en c = 0, tres. El botón rojo lo comprueba. Al subir la cúbica de c = −4 a 4, sus raíces reales pasan por 1, 3, 1, pero cada fila del registro suma 3. Como los pares llegan de dos en dos, un grado impar conserva siempre al menos una raíz real.

Al desarrollar $(x - z_1)\cdots(x - z_n)$, el coeficiente de $x^{n-1}$ es $-(z_1 + \dots + z_n)$. Mover c solo cambia el término independiente, por lo que la suma de las raíces nunca se mueve. Para $x^3 - 3x$ vale 0 con cualquier c: cuando la raíz real va a la izquierda, el par va a la derecha, y en c = 3, −2.104 + 2 × 1.052 = 0. Con Suma de raíces activada, un rombo marca la media de las raíces y permanece fijo durante cualquier recorrido.